Matematika

[baustelac]

Imam problem sa objasnjenem rjesenja matematickog problema i bio bih veoma zahvalan za argumentovano objasnjenje.

Radi se sljedecem:
Definisana je funkcija F=sqrt(a^2+2*a*cos(x)+1) i trazi se integral funkcije F. Analiticko rjesenje je kako kaze mathematica, nekompletni elipticni integral, sta god da mu to znacilo!?. Funkcija F je naravno periodicna, amplituda je 1, ali srednja vrijednost nije a (a>1).

Rezultat numericke integracije funkcije F je neperiodicna funkcija a meni je potrebna periodicna funkcija. Ukoliko funkciju F transformisem tako da od F oduzmem njenu srednju vrijednost na intervalu (0-2pi), rjesenje je periodicno i ja sav sretan.

Potrebna mi je matematicka podloga za ovaj postupak. Hvala unaprijed svima sa kontruktivnim objasnjenjima

[nellington]

Stan' der malo. Kakva numerička integracija? Ti tražiš neodređeni integral (odnosno antiderivaciju) funkcije F. Dobijaš neku funkciju f koja igrom slučaja nije izraziva putem elementarnim funkcijama (nepotpuni eliptički integral).

Može li pjašnjenje: 1. zašto tražimo ovaj integral, 2. a koje rješenje dobiješ kad od F oduzmeš srednju vrijednost, teško da tad dobiješ nešto drugačije od onog što već imamo i ovako.

[baustelac]

Stan' der malo. Kakva numerička integracija? Ti tražiš neodređeni integral (odnosno antiderivaciju) funkcije F. Dobijaš neku funkciju f koja igrom slučaja nije izraziva putem elementarnim funkcijama (nepotpuni eliptički integral).

Može li pjašnjenje: 1. zašto tražimo ovaj integral, 2. a koje rješenje dobiješ kad od F oduzmeš srednju vrijednost, teško da tad dobiješ nešto drugačije od onog što već imamo i ovako.

Evo ovako, F je brzina i tacnije izrazeno ima oblik F=sqrt(a^2+2a sin(omega*t)+1). Meni treba jednacina kretanja X(t), tako da u nekom stacionarnom polju brzine U vrsim oscilatorno kretanje tijela definisano preko X(t), a da bude zadovoljen uslov F=U-dX(t)/dt. Ako postavim da je U=F_srednje a X(t) definisem kao sumu na intervalu 0-t:
X(t)= F_srednje*t-sum(F(t))dt,
zadovoljen je uslov i X(t) je periodicno.
Ovo sum(F(t)dt) je zapravo Taylorova aproximacija prvog reda sa granicnim uslovom X(0)=0. Gresku aproximacije koja je mala za dovljno malo dt, mogu korektovati na kraju svakog perioda tako da je X(kT)=0. Za bilo koje drugo U, X(t) nije periodicno

[The Nightwatchman]

uf. procitao sam ovo i morao sam jedan apaurin zveknut. uf.

[colt]

[Kenan-Safvet]

Ovo sto si napisao dosad je pravo konfuzno i tesko je nekom sa strane shvatit o cemu se radi.
Kao prvo, osvrcuci se na prvi post, kazes da ti je potrebno da rezultat integracije funkcije F bude periodicna funkcija, pretpostavljam ovdje da mislis periodicna u argumentu a, jer se jedino tako taj integral moze protumacit kao funkcija. Ali to je nemoguce, jer je funkcija F ocigledno pozitivna (a>1) i rastuca u a, ako fiksiras x, pa je samim time i integral rastuca funkcija u a i ne moze nikako biti periodicna.
Sto se tice drugog posta, on mi je jos nejasniji. NIsam siguran o cemu se bas radi. Kazes vrsis oscilatorno kretanje tijela u stacionarnom polju brzine U? Jel to znaci da je to tijelo dio nekog sistema koji se krece brzinom U (kako? pravolinijski?), a unutar tog sistema, tijelo se krece oscilatornom putanjom brzinom F u odnosu na sistem?

[baustelac]

Ovo sto si napisao dosad je pravo konfuzno i tesko je nekom sa strane shvatit o cemu se radi.
Kao prvo, osvrcuci se na prvi post, kazes da ti je potrebno da rezultat integracije funkcije F bude periodicna funkcija, pretpostavljam ovdje da mislis periodicna u argumentu a, jer se jedino tako taj integral moze protumacit kao funkcija. Ali to je nemoguce, jer je funkcija F ocigledno pozitivna (a>1) i rastuca u a, ako fiksiras x, pa je samim time i integral rastuca funkcija u a i ne moze nikako biti periodicna.
Sto se tice drugog posta, on mi je jos nejasniji. NIsam siguran o cemu se bas radi. Kazes vrsis oscilatorno kretanje tijela u stacionarnom polju brzine U? Jel to znaci da je to tijelo dio nekog sistema koji se krece brzinom U (kako? pravolinijski?), a unutar tog sistema, tijelo se krece oscilatornom putanjom brzinom F u odnosu na sistem?

U prvom postu napisao sam funkciju u matematici najcesce izrazenom obliku sa varijablom x kao argumentom. Drugi post je samo pojasnjene prakticne primjene. Da bi bilo jasnije, sa aerodinamickog stanovista svejedno je da li se neki objekat krece brzinom U kroz miran zrak, ili taj objekat miruje a na njega djeluje polje brzine U. U mome primjeru radi se o kombinaciji oba slucaja. Kao sto sam rekao, problem je rijesen, meni treba argumentovano matematicko objasnjenje.

[Kenan-Safvet]

U prvom postu napisao sam funkciju u matematici najcesce izrazenom obliku sa varijablom x kao argumentom. Drugi post je samo pojasnjene prakticne primjene. Da bi bilo jasnije, sa aerodinamickog stanovista svejedno je da li se neki objekat krece brzinom U kroz miran zrak, ili taj objekat miruje a na njega djeluje polje brzine U. U mome primjeru radi se o kombinaciji oba slucaja. Kao sto sam rekao, problem je rijesen, meni treba argumentovano matematicko objasnjenje.

Ok, pokusacu samo da se fokusiram na prvi post, jer mi drugi jos uvijek nije jasan sta tacno radis ni koliko je to utemeljeno sa stanovista fizike, al pretpostavljam da ti znas. Jasnije mi je sad sta si pokusao reci u prvom. U pravu si, ako funkciju F zamijenis sa F - Fsrednje, integral te funkcije ce biti periodicna funkcija. Jesi li to zakljucio logicki (matematicki), ili se numericki pokazalo ispravno? Ako si zakljucio logicki, sta zelis tacno da ti se pokaze, nije mi jasno sta zelis? Naravno, da ne ulazimo u fiziku, jer ne znam nista o ispravnosti ovog modela.

[baustelac]

U prvom postu napisao sam funkciju u matematici najcesce izrazenom obliku sa varijablom x kao argumentom. Drugi post je samo pojasnjene prakticne primjene. Da bi bilo jasnije, sa aerodinamickog stanovista svejedno je da li se neki objekat krece brzinom U kroz miran zrak, ili taj objekat miruje a na njega djeluje polje brzine U. U mome primjeru radi se o kombinaciji oba slucaja. Kao sto sam rekao, problem je rijesen, meni treba argumentovano matematicko objasnjenje.

Ok, pokusacu samo da se fokusiram na prvi post, jer mi drugi jos uvijek nije jasan sta tacno radis ni koliko je to utemeljeno sa stanovista fizike, al pretpostavljam da ti znas. Jasnije mi je sad sta si pokusao reci u prvom. U pravu si, ako funkciju F zamijenis sa F - Fsrednje, integral te funkcije ce biti periodicna funkcija. Jesi li to zakljucio logicki (matematicki), ili se numericki pokazalo ispravno? Ako si zakljucio logicki, sta zelis tacno da ti se pokaze, nije mi jasno sta zelis? Naravno, da ne ulazimo u fiziku, jer ne znam nista o ispravnosti ovog modela.

Malo logika malo numerika. Numericki se moze pokazati. Evo jednog veoma slicnog ali jednostavnijeg primjera, npr. sin(x) je periodicna i integral periodican, dok npr. a+sin(x) je isto periodicna funkcija ali integral nije. Kako matematika objasnjava ovaj slucaj. Ovaj primjer mi je sada naumpao, da sam na ovom primjeru postavio problem bilo bi puno jasnije

[baustelac]

Meni konkretno treba objasnjenje sa matematickog stanovista, zasto od funkcije treba oduzeti srednju vrijednost funkcije a ne vrijednost parametra "a". Na prvi pogled reklo bi se da treba oduzeti "a" jer je na intervalu 0-2pi, maximum funkcije a+1 a minimum a-1.

[Kenan-Safvet]

Malo logika malo numerika. Numericki se moze pokazati. Evo jednog veoma slicnog ali jednostavnijeg primjera, npr. sin(x) je periodicna i integral periodican, dok npr. a+sin(x) je isto periodicna funkcija ali integral nije. Kako matematika objasnjava ovaj slucaj. Ovaj primjer mi je sada naumpao, da sam na ovom primjeru postavio problem bilo bi puno jasnije

Ok, sad mi je jasno. Za ovo kako matematika objasnjava - intuitivno, ili logicki, ovo je vrlo jednostavno, ovaj primjer koji si uzeo je dobar da to vidis. Dakle, zamislis graf funkcije; kako je integral povrsina koju funkcija zaklapa sa x-osom, kada imas sin(x) , on oscilira izmedju vrijednosti -1 i 1, pa ce dakle sva "pozitivna" povrsina biti ponistena "negativnom", pa ce samim time integral na punim periodama (2pi, 4pi, itd.) biti jednak nuli, a izmedju tih perioda ce oscilirati izmedju pozitivnih i negativnih vrijednosti, pa je dakle u pitanju periodicna funkcija. S druge strane, sin(x)+a (a>1) je sinus pomjeren ka gore za vrijednost a, pa je dakle funkcija pozitivna za svako x, dakle imamo samo "pozitivnu" povrsinu, pa integral samo raste i ne moze biti periodicna funkcija.

Na ovo drugo pitanje, zasto oduzimamo srednju vrijednost funkcije, a ne vrijednost parametra a - slicno ovom gore razmatranju, funkcija F koja je zadata, je 2pi-periodicna, oscilira, ali je pozitivna za svako x (slicno onoj sin(x)+a), dakle njen integral, tj. povrsina koju zaklapa s x-osom samo raste, pa je moramo nekako "spustiti" ka dole za odredjenu vrijednost, da bi dobili one "negativne" povrsine koje ce biti jednake "pozitivnim" te ih ponistavaati i tako ce nam integral biti periodicna funkcija. Eh, razlog zasto ta vrijednost nije broj a, s obzirom da su extremi funkcije F a-1 i a+1, je slijedeci:
Kod obicnog sinusa, ciji su extremi -1 i 1, postoji izvjesna antisimetrija oko tacke pi, dakle pozitivne i negativne vrijednosti imaju podjednake doprinose, pa je povrsina nula, te je i srednja vrijednost nula. Medjutim, opcenito ako imas funkciju koja je periodicna i oscilira izmedju -1 i 1 (sto bi postigao oduzimanjem vrijednosti a od funkcije F), ta funkcija ne mora imati integral nula na intervalu jedne periode, jer moguce da "pozitivne" povrsine ima vise od "negativne", jer ti nista ne garantuje da mora biti antisimetricna oko tacke gdje je jednaka nuli, kao sto je slucaj sa sinusom. Konkretno, u nasem slucaju, taj balans narusava uzimanje korijena iz izraza a^2+2*a*cos(x)+1. Dakle, tu vrijednost koju zelimo oduzeti da bi bile izbalansirane povrsine je upravo srednja vrijednost funkcije (na intervalu 0-2pi), koja se upravo definise kao integral funkcije u granicama intervala (nebitno koji interval, samo da mu je duzina jednaka duzini periode, dakle 2pi) podijeljeno sa duzinom intervala, dakle INT[F]/T, (T je perioda, dakle 2pi). Sa ovako definisanom srednjom vrijednoscu funkcije, dokazati da je INT[F - Fsrednje] = 0 je jednostavno, jer je Fsrednje*T=Int(F), gdje je T period, pa je
Int[F - Fsrednje] = Int[F] - Int[Fsrednje] = Int[F] - Fsrednje*Int[1]= Int[F] - Fsrednje*T =Int[F] - Int[F]=0

[baustelac]

Malo logika malo numerika. Numericki se moze pokazati. Evo jednog veoma slicnog ali jednostavnijeg primjera, npr. sin(x) je periodicna i integral periodican, dok npr. a+sin(x) je isto periodicna funkcija ali integral nije. Kako matematika objasnjava ovaj slucaj. Ovaj primjer mi je sada naumpao, da sam na ovom primjeru postavio problem bilo bi puno jasnije

Ok, sad mi je jasno. Za ovo kako matematika objasnjava - intuitivno, ili logicki, ovo je vrlo jednostavno, ovaj primjer koji si uzeo je dobar da to vidis. Dakle, zamislis graf funkcije; kako je integral povrsina koju funkcija zaklapa sa x-osom, kada imas sin(x) , on oscilira izmedju vrijednosti -1 i 1, pa ce dakle sva "pozitivna" povrsina biti ponistena "negativnom", pa ce samim time integral na punim periodama (2pi, 4pi, itd.) biti jednak nuli, a izmedju tih perioda ce oscilirati izmedju pozitivnih i negativnih vrijednosti, pa je dakle u pitanju periodicna funkcija. S druge strane, sin(x)+a (a>1) je sinus pomjeren ka gore za vrijednost a, pa je dakle funkcija pozitivna za svako x, dakle imamo samo "pozitivnu" povrsinu, pa integral samo raste i ne moze biti periodicna funkcija.

Na ovo drugo pitanje, zasto oduzimamo srednju vrijednost funkcije, a ne vrijednost parametra a - slicno ovom gore razmatranju, funkcija F koja je zadata, je 2pi-periodicna, oscilira, ali je pozitivna za svako x (slicno onoj sin(x)+a), dakle njen integral, tj. povrsina koju zaklapa s x-osom samo raste, pa je moramo nekako "spustiti" ka dole za odredjenu vrijednost, da bi dobili one "negativne" povrsine koje ce biti jednake "pozitivnim" te ih ponistavaati i tako ce nam integral biti periodicna funkcija. Eh, razlog zasto ta vrijednost nije broj a, s obzirom da su extremi funkcije F a-1 i a+1, je slijedeci:
Kod obicnog sinusa, ciji su extremi -1 i 1, postoji izvjesna antisimetrija oko tacke pi, dakle pozitivne i negativne vrijednosti imaju podjednake doprinose, pa je povrsina nula, te je i srednja vrijednost nula. Medjutim, opcenito ako imas funkciju koja je periodicna i oscilira izmedju -1 i 1 (sto bi postigao oduzimanjem vrijednosti a od funkcije F), ta funkcija ne mora imati integral nula na intervalu jedne periode, jer moguce da "pozitivne" povrsine ima vise od "negativne", jer ti nista ne garantuje da mora biti antisimetricna oko tacke gdje je jednaka nuli, kao sto je slucaj sa sinusom. Konkretno, u nasem slucaju, taj balans narusava uzimanje korijena iz izraza a^2+2*a*cos(x)+1. Dakle, tu vrijednost koju zelimo oduzeti da bi bile izbalansirane povrsine je upravo srednja vrijednost funkcije (na intervalu 0-2pi), koja se upravo definise kao integral funkcije u granicama intervala (nebitno koji interval, samo da mu je duzina jednaka duzini periode, dakle 2pi) podijeljeno sa duzinom intervala, dakle INT[F]/T, (T je perioda, dakle 2pi). Sa ovako definisanom srednjom vrijednoscu funkcije, dokazati da je INT[F - Fsrednje] = 0 je jednostavno, jer je Fsrednje*T=Int(F), gdje je T period, pa je
Int[F - Fsrednje] = Int[F] - Int[Fsrednje] = Int[F] - Fsrednje*Int[1]= Int[F] - Fsrednje*T =Int[F] - Int[F]=0

Hvala na veomea iscrpnom objasnjenju, ali moram da priznam da mi je preopsirno. Sve su to stvari koje razumijem i koje mogu da dokazem ali meni treba potvrda da matematika kaze: "Integral periodicne funkcije F je periodicna funkcija f, samo ako je srednja vrijednost funkcije F=0."

[nellington]

Tvrđenje je tačno, ali dokaz malo opširniji. Vidi ovdje: http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=261660

[baustelac]

Tvrđenje je tačno, ali dokaz malo opširniji. Vidi ovdje: http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=261660

Hvala

[Kenan-Safvet]

Hvala na veomea iscrpnom objasnjenju, ali moram da priznam da mi je preopsirno. Sve su to stvari koje razumijem i koje mogu da dokazem ali meni treba potvrda da matematika kaze: "Integral periodicne funkcije F je periodicna funkcija f, samo ako je srednja vrijednost funkcije F=0."

Pa ako ovo sve razumijes, onda je dokaz za ovo trivijalan, nije mi jasno u cemu je problem i moguce je dokazati puno elementarnije, nego na onoj stranici, bez uvodjenja Fourierovih koeficijenata.
Evo kako to formalno izgleda: dakle, neka je funkcija g antiderivativ of F, tj. Int(F)=g. Ti zelis dokazati implikaciju:
g periodicno -> Fsrednje = 0

Znaci g(x)=g(x+2pi) -> 0 = g(x+2pi)- g(x) = Int(F) (ovaj integral u granicama x i x+2pi)
Ali srednja vrijednost F, tj. Fsrednje se upravo definise kao integral duz periode, podijeljeno sa duzinom periode, tj. Fsrednje = Int(F)/2pi = 0 jer je Int(F) =0, i to je to, implikacija dokazana - ako je g periodicna, Fsrednje je nula.

[baustelac]

Hvala na veomea iscrpnom objasnjenju, ali moram da priznam da mi je preopsirno. Sve su to stvari koje razumijem i koje mogu da dokazem ali meni treba potvrda da matematika kaze: "Integral periodicne funkcije F je periodicna funkcija f, samo ako je srednja vrijednost funkcije F=0."

Pa ako ovo sve razumijes, onda je dokaz za ovo trivijalan, nije mi jasno u cemu je problem i moguce je dokazati puno elementarnije, nego na onoj stranici, bez uvodjenja Fourierovih koeficijenata.
Evo kako to formalno izgleda: dakle, neka je funkcija g antiderivativ of F, tj. Int(F)=g. Ti zelis dokazati implikaciju:
g periodicno -> Fsrednje = 0

Znaci g(x)=g(x+2pi) -> 0 = g(x+2pi)- g(x) = Int(F) (ovaj integral u granicama x i x+2pi)
Ali srednja vrijednost F, tj. Fsrednje se upravo definise kao integral duz periode, podijeljeno sa duzinom periode, tj. Fsrednje = Int(F)/2pi = 0 jer je Int(F) =0, i to je to, implikacija dokazana - ako je g periodicna, Fsrednje je nula.

Hvala, na odgovoru. Tvrdnju ne trebam dokazivati, bitno mi je samo da ako kazem: "U opstem slucaju, integral periodicne funkcije periodican samo ako je srednja vrijednost funkcije 0", ne moze neko reci, nije tacno!

[Kenan-Safvet]

Hvala, na odgovoru. Tvrdnju ne trebam dokazivati, bitno mi je samo da ako kazem: "U opstem slucaju, integral periodicne funkcije periodican samo ako je srednja vrijednost funkcije 0", ne moze neko reci, nije tacno!

Pa to sam ti upravo matematicki dokazao, a ako sam dokazao, kako ti neko moze reci da nije tacno?
Znaci, ponavljam, matematicki sam dokazao da ako je integral periodican, onda je srednja vrijednost funkcije jednaka nuli. To je logicki ekvivalentna izjava ovoj tvojoj: "U opstem slucaju, integral periodicne funkcije periodican samo ako je srednja vrijednost funkcije 0" Ono sam uradio za opstu periodicnu funkciju F (sa periodom 2pi, ali to je svejedno) i njen antiderivativ g, ne mora biti biti nuzno ova koju si ti napisao.

[baustelac]

Hvala, na odgovoru. Tvrdnju ne trebam dokazivati, bitno mi je samo da ako kazem: "U opstem slucaju, integral periodicne funkcije periodican samo ako je srednja vrijednost funkcije 0", ne moze neko reci, nije tacno!

Pa to sam ti upravo matematicki dokazao, a ako sam dokazao, kako ti neko moze reci da nije tacno?
Znaci, ponavljam, matematicki sam dokazao da ako je integral periodican, onda je srednja vrijednost funkcije jednaka nuli. To je logicki ekvivalentna izjava ovoj tvojoj: "U opstem slucaju, integral periodicne funkcije periodican samo ako je srednja vrijednost funkcije 0" Ono sam uradio za opstu periodicnu funkciju F (sa periodom 2pi, ali to je svejedno) i njen antiderivativ g, ne mora biti biti nuzno ova koju si ti napisao.

Ma skonto sam ali ti mene nisi izgleda skonto, dokazao si i meni je to ok, to je rjesenje mog problema. To je ono sto mi je trebalo i jos jednom hvala