TRAPEZ

[kristina bezina]

Bok!

Molim vašu pomoć u vezi ovog zadatka:
U trapezu ABCD dijagonala AC je okomita na stranicu BC i raspolavlja kut DAB.Ako je kut ABC =60 , a osnovica AB=4 , onda je opseg trapeza ???

Rezultat bi trebao biti 10.

[Stari]

Ciao Kristina


Smije li se ovdje upotrebljavati trigonometrija ili je uslov da se zadatak rijesi u cistoj geometriji?


srdacan pozdrav

[ibnHome]

bice da je 10...
ako je ABC 60 stepeni....onda je ovaj ugao sto ga zatvaraju AB i dijagonala AC 30, je li.... znaci BC=ABsin30, hoce reci 2...
onda dobijemo da je AC korijen iz 12... a ugao ACB 30...
CD ce tada biti CD=(12)^1/2 tg(30)=2...
eto...O=4+2+2x2=10

[Stari]

Hm....do istog ces , cini mi se, rezultata doci i bez upotrebljavanja trigonometrijskih operacija ako uradis slijedece :

Produzi stranicu BC pomocnom linijom , isto uradi sa stranicom AD. Sjeciste produzenih (pomocnih) linija nazovi tackom E. Tada dobijas dva trokuta i to oba jednakostranicna. Onda(k) pogledas i vidis da ti je duz AC u stvari jedna bisektrisa i za nju kao takvu vazi teorema bisektrisa koja glasi otprilike tako da kaze da linija koja u jednom trouglu raspolovljava jedan od uglova ujedno sjece suprotnu stranicu tako da se njeni (na taj nacin dobiveni) dijelovi u kvoti odnose kao kvote izmedju stranica koje zatvaraju raspolovljeni ugao. To u kombinaciji sa cinjenicom da se radi o jednakostranicnom trouglu ti daje za pravo da uspostavis tvrdnju da ista ta bisektrisa ne samo da rapolovljava ugao nego i raspolovljava i suprotnu stranicu sto je u ovoj sada malo izmanipulisanoj slici stranica DE ....a njeni dijelovi dakle DC i CE su jednaki polovici od 4.

Simetrija cijele te slike ti u daljnjem toku nece ostaviti puno izbora do da proglasis duz AD jednako dugackom sa duzinama CD odnosno DC. Sve tri su naime jednake 2.

Izbrisi onda pomocne linije i posmatraj paralelni trapez kod kojeg imas jednu stranicu jednaku 4 a sve ostale tri stranice jednake 2.


Malo je bezveze ...ovako bez trigonometrije...stekne se lako utisak da je nepotrebno komplikovano..... ali tako se ponekad mora ...ako se radi o kursu iz ciste geometrije.

[kristina bezina]

Bok,

Opet ja molim te možeš mi malo pojasniti ovaj zadnji izraz
CD= (12)^1/2tg(30)=2

ako je AB=2
a AC=(12)^2

malo mi je zbunjujuće.Opet te molim za objašnjenje

Hvala puno!!
P.s.
Hvala Stari ali mora se raditi sa trigonometrijom!!

[Stari]

Bok,

Opet ja molim te možeš mi malo pojasniti ovaj zadnji izraz
CD= (12)^1/2tg(30)=2

ako je AB=2
a AC=(12)^2

malo mi je zbunjujuće.Opet te molim za objašnjenje

Hvala puno!!
P.s.
Hvala Stari ali mora se raditi sa trigonometrijom!!

AB nije =2 nego =4

[kristina bezina]

Da, naravno BC=2 (GREŠKA U PISANJU)

SVEJEDNO NIJE MI JASNO OVO SA tg odnosno :

CD=(12)^1/2tg(30)=2

zašto je tu tg a ne sin jer je AC (hipotenuza )pa mi to onda nije jasno jer kada imamo hipotenuzu onda koristimo sin i cos a ovdje je drugačije pa vjerojatno postoji logično objašnjenje ali ga ja nažalost ne vidim.
Hvala na pomoći!

[Stari]

Da, naravno BC=2 (GREŠKA U PISANJU)

SVEJEDNO NIJE MI JASNO OVO SA tg odnosno :

CD=(12)^1/2tg(30)=2

zašto je tu tg a ne sin jer je AC (hipotenuza )pa mi to onda nije jasno jer kada imamo hipotenuzu onda koristimo sin i cos a ovdje je drugačije pa vjerojatno postoji logično objašnjenje ali ga ja nažalost ne vidim.
Hvala na pomoći!

Vjeruj mi da ni ja ne vidim nikakav trokut kod kojeg bi stranica DC i stranica AC sacinjavale katete i da jos k tome taj isti trokut bude pravougaoni...tako da covjek moze koristiti definiciju tangensa.

[ibnHome]

AC nije hiponetuza...CDA nije pravi ugao...odatle tg...
AC je kateta u ABC trouglu...pa otud AC=(16-4)^1/2...

[kristina bezina]

Dobro ja ti vjerujem i naravno hvala

[Stari]

Postovani IbnHome evo Kristina je shvatila i u tom pogledu njoj vise ne trebas objasnjavati nista...ali ako bi bio ljubazan da meni objasnis...neke stvari u ovom zadatku. Znam da te to vjerovatno zamara i zato se unaprijed izvinjavam.

Trokut ADC nije pravougli ...osim toga duz AC mu nije kateta...dakle tangens otpada iz igre...ili ja nesto fulam i to nesto fundamentalno.?.

Trokut ABC jest pravougli i AC mu jest kateta isto kao i CD i tangens ugla ABC (CAB takodjer) jest definisan odnosom tih dviju kateta....ali sta to ima veze sa stranicom DC?

Ne sporim da je stranica DC=2 ....a ne sporim ni to da je korijen iz 12 pomnozen sa tangensom od 30 stepeni jest jednako 2.

[ibnHome]

Potpuno si u pravu Stari...do mene je definitivno...
sad valja stici Kristinu i objasniti... da je bila greska....

da bi se matematicki (trigonometrijski) rijesio zadatak potrebno je npr. spustiti visinu iz tacke D na dijagonalu AC i tada cemo dobiti pravougli trougao...gdje poznajemo sve uglove (ACD je jednakokrakii trougao) i jednu katetu, 1/2 od AC...CD=(1/2*(12)^1/2)/cos(30)...

jos se jadanput izvinjavam i Tebi i Kristini...

[Stari]

Znam...pocinjem bivati sve dosadniji, a tako ti je to kad ti pretpostavljeni narede da ostanes prekovremeno protiv tvoje volje kao sto su meni danas uradili....no glede problema: trokut ADC jest jednakokraki no ne i jednakostranicni (krakovi AD i DC jesu jednaki ali ne i stranica AC). To sto meni kao propalom matematicaru ne sjeda bas najbolje (premda ne sporim tacnost rezultata dobivenog ni na prvi ni na drugi nacin) je to da ti nigdje ne dokazujes da su duzine AD odnosno DC jednake (one to jesu ali nigdje u zadatku ne stoji da jesu....pa bi bilo prirodno reci zasto su i kako to da su...one jendake). Ja sam to pokusao dokazati teoremom o bisektrisi u trokutu....i jos mislim da taj dokaz drzi vodu. Ne tvrdim da vjerovatno postoji i neki kraci i elegantniji dokaz.

Dato je dakle:

U trapezu ABCD dijagonala AC je okomita na stranicu BC i raspolavlja kut DAB.Ako je kut ABC =60 , a osnovica AB=4 , onda je opseg trapeza ???

Iz ovog se trigonometrijom moze dobiti BC=2 ...kako?...to je laksi dio zadatka 4*cos(60)= 2. Dalje se moze izracunati ugao CAB = 180-90-60= 30. Linija AC , kaze se u zadatku, raspolovljava ugao DAB, a mi smo izracunali jednu njegovu polovinu....zajedno sa tom drugom polovinom...dolazimo do spoznaje da je ugao DAB jednako velik uglu ABC = 60.

Tek tada imamo mogucnost da konstruisemo cak dva jednakostranicna trokuta....produzavanjem stranica AD odnosno CB....te produzene stranice se sjeku u tacki (nazovimo je) E. Zasto je na taj nacin dobiven trokut garantovano jednakostranican, vidi se iz toga da su dva od njegova tri ugla (a samim tim i treci) jednaki svaki ponaosob 60 stepeni....nesto sto karakterise samo jednakostranicne trokute.

Na taj nacin dobiveni trokutovi ABE i DCE su podudarni i jednakostranicni. To da je duzina AB =4 pod uslovom da se radi o jednakostranicnom trokutu (a to smo upravo dokazali) daje da su i duzine DE , AE takodjer =4.

Ako bisektrisa AC polovi stranicu BE a mi znao jednu njenu polovinu BC = 2 ...njena druga polovina CE je takodjer =2.

Sad ako je trokut DCE jednako stranican ....a jedna njegova stranica (CE) je dugacka 2 onda su i sve ostale stranice dugacke 2. Na taj nacin je izveden dokaz da je stranica DC =2. Tada i samo tada mora i stranica AD biti jednaka 2. Inace ne bi bila zadovoljena osnovna nejednacina trokuta.


Jesam li u krivu?

[manijak1]

Pitaj Buhtlu

[Stari]

Moracu i to jednom uciniti.... vidim da ti je buhtla iz nekog razloga neobicno drag..... ovaj put to nije potrebno zadatak naime odvec jednostavan da bi se uznemiravao njegov kapacitet....ostavicemo to ....za drugi put......
Mere?

[manijak1]

vidim da ti je buhtla iz nekog razloga neobicno drag

Ma iako je Slovenac kao i ja on je dobar matematičar i hoće pomoć

[Stari]

Sve to najvjerovatnije stima ....i nemam ni najmanju namjeru kriticki se osvrtati na tvoje tvrdnje. Jedino me pomalo iznenadjuje tvrdnja po kojoj bi ti bio slovenacke nacionalnosti. To mi je nakon svih ovih godina provedenih, sto kao gledalac - sto kao aktivan ucesnik, ovdje na forumu uspjelo promaci.


Kad se sad malo presaberem poprilicno sam siguran da nisam nikad nista lose rekao o slovencima niti sam to mislio. Nisam cak sta vise ni jedan vic o slovencima ispricao ovdje na forumu (a tih viceva je bilo onomad u vojakliji i dan danas se sjecam par onako... zgodnih)

[ibnHome]

To sto meni kao propalom matematicaru ne sjeda bas najbolje (premda ne sporim tacnost rezultata dobivenog ni na prvi ni na drugi nacin) je to da ti nigdje ne dokazujes da su duzine AD odnosno DC jednake (one to jesu ali nigdje u zadatku ne stoji da jesu....pa bi bilo prirodno reci zasto su i kako to da su...one jendake).

jesam Stari,evo ovdje:

potrebno je npr. spustiti visinu iz tacke D na dijagonalu AC i tada cemo dobiti pravougli trougao...gdje poznajemo sve uglove (ACD je jednakokrakii trougao) i jednu katetu, 1/2 od AC...CD=(1/2*(12)^1/2)/cos(30)...

hocu reci odavde se vidi da je DC=2....za BC smo se davno slozili da je 2, je li...ne vidim zasto bismo dalje dokazivali da je AD=2...jer je vec zadato (indirektno) da su uglovi DAB i ABC jednaki, sto nas navodi na zakljucak da je AD=BC.

[kristina bezina]

Bok!

Evo mene opet.
Baš ste se potrudili ,thanks.
Taj ˝nesretni˝ tg vidim i vama je zadao muke kao i meni jer sam (nesigurna i u ono malo što znam) pokušavala riješiti na taj način, ali nije išlo, pa sam se ja odlučila za drugačiji pristup.
Pogledajte i prosudite , Dakle ovako:
AB=4 (donja osnovica),bočnu stranu trapaza(BC) sam dobila iz trokuta ABC i to BC=sin30*AB=1/2*4=2 , tako da je i druga bočna strana str.=2.
Zatim sam spustila visinu iz točke C na AB i dobila točku E ,a time i mali pravokutni trokut isto sam to napravila i na drugoj strani iz ovog trokuta sam dobila mali x (odsječak)na AB i to je ovako x=cos60*BC=1/2*2=1
isto i sa druge strane(cos od 60 jer ovdje nema raspolavljanja kuta), pa je 4-(1+1)=2 a taj 2=dužini druge (gornje )osnovice(CD) i sada imamo sve strane i opseg je O=4+2+2+2=10
Hvala još jednom svima na trudu, moli provjerite i ovo.

[ibnHome]

Bok!

Evo mene opet.
Baš ste se potrudili ,thanks.
Taj ˝nesretni˝ tg vidim i vama je zadao muke kao i meni jer sam (nesigurna i u ono malo što znam) pokušavala riješiti na taj način, ali nije išlo, pa sam se ja odlučila za drugačiji pristup.
Pogledajte i prosudite , Dakle ovako:
AB=4 (donja osnovica),bočnu stranu trapaza(BC) sam dobila iz trokuta ABC i to BC=sin30*AB=1/2*4=2 , tako da je i druga bočna strana str.=2.
Zatim sam spustila visinu iz točke C na AB i dobila točku E ,a time i mali pravokutni trokut isto sam to napravila i na drugoj strani iz ovog trokuta sam dobila mali x (odsječak)na AB i to je ovako x=cos60*BC=1/2*2=1
isto i sa druge strane(cos od 60 jer ovdje nema raspolavljanja kuta), pa je 4-(1+1)=2 a taj 2=dužini druge (gornje )osnovice(CD) i sada imamo sve strane i opseg je O=4+2+2+2=10
Hvala još jednom svima na trudu, moli provjerite i ovo.

Tacno, sigurno....samo ce Stari, sto je donekle u pravu, imati primjedbu; da nisi explicitno dokazala da je BC=AD....

[kristina bezina]

Ne znam neke matematičke dokaze ali mislim(misliti je d.. znati )ali eto, možda bi to imalo veze sa kutevima ako ne onda stvarno ne znam.

[ibnHome]

Ne znam neke matematičke dokaze ali mislim(misliti je d.. znati )ali eto, možda bi to imalo veze sa kutevima ako ne onda stvarno ne znam.

Upravo tako...vec je to sve zadato u samoj postavci...ABC=60, BCA=90 => CAB=30, a isto se kaze da je CAB=DAB/2...hoce reci uglovi DAB i ABC su jednaki...pa samim tim i stranice AD i BC....

[kristina bezina]

Eto,

sada smo valjda svi sretni i zadovoljni dobivenim objašnjenjima.
Hvala ibnHome!