Kutak za ljubitelje matematike

[Kenan-Safvet]

ok, nije problem

[nellington]

Na današnji dan umro je Marin Mersenne. Išao je u istu školu sa Descartesom, s kojim će se ipak upoznati mnogo kasnije. Živio u minimskom samostanu, bavio se akustikom, mehanikom, religijskim raspravama, geometrijom, teorijom brojeva. Najpoznatiji je po Mersenneovim brojevima (2^p-1 gdje je p prost), ali i po ulozi koju je odigrao u korespondenciji najvećih umova Evrope tog doba. Naime, kroz njegovu ćeliju su prolazili Peiresc, Gassendi, Descartes, Roberval, Beeckman, J B van Helmont, Fermat, Hobbes, Etienne Pascal i njegov sin Blaise Pascal, dopisivali se s njim, organizirali sastanke na kojim su se bavili novim naučnim i filozofskim idejama.

[faruche]

Pitanje:
Naći zapreminu tjela ograničenog paraboloidom z=x^2+y^2 i ravnima z=1 i z=4.
Znam da nije teško, radi se preko 2 trostruka integrala od kojih je jedan zapremina cilindra (prebacimo u polarne koordinate).
E sad drugi integral, problem su mi granice.

Thx

[elizabeth a]

http://www.sarajevo-x.com/scitech/nauka ... /100901010

Japanac izračunao broj Pi na pet triliona decimalapočetkom augusta, kod nas malo kasne s vijestima

[Kenan-Safvet]

Pitanje:
Naći zapreminu tjela ograničenog paraboloidom z=x^2+y^2 i ravnima z=1 i z=4.
Znam da nije teško, radi se preko 2 trostruka integrala od kojih je jedan zapremina cilindra (prebacimo u polarne koordinate).
E sad drugi integral, problem su mi granice.

Thx

Nema potrebe da komplikujes ovo se moze dobit jednim jednostrukim integralom, uz malo geometrijskog rezonovanja.
Pokusaj nacrtat ovo tijelo pa ces vidjet. Primjeti da je z koordinatna invarijantna rotacijom u xy ravni, tj. drugim rijecima, ovo tijelo ostaje nepromjenjeno ukoliko ga rotiras oko z ose.
Sad samo primjeni formulu koju vjerovatno znas, za zapreminu tijela koje dobijes rotacijom odredjene funkcije f(x) oko x ose. Ovdje ti je ista situacija, samo imas z umjesto x. Probaj sam skontat sta bi ti bilo f(z) u ovom slucaju. Granice integrala imas zadane.

[bogumil-8]

Ja, jedini iz BiH, (ovdje) dobio šansu da se svađam na "svjetskom nivou". Potrebna mi je pomoć matematičara (dobre volje) za ovu "svađu".
Ima li "dobrih duša", za, bar minimalnu, pomoć?!

[ja71]

Ja, jedini iz BiH, (ovdje) dobio šansu da se svađam na "svjetskom nivou". Potrebna mi je pomoć matematičara (dobre volje) za ovu "svađu".
Ima li "dobrih duša", za, bar minimalnu, pomoć?!

@bogumile izvijesti o ishodu "svadje" posto nisam bas sa engleski tako jak da citam bez problema

[bogumil-8]

Mislim da rezultate „svađe“ neću dočekati (tako da te neću moći izvijestiti o rezultatima „svađe“ koja traje od 1908, i u koju sam slučajno uletio, k'o policajac).
Za engleski jezik sam na nivou jednogodišnjeg djeteta, za francuski imam koji mjesec više, a ni B-H-S ne poznajem dovoljno dobro (nikako da savladam glagolske pridjeve), mada ga koristim za svoje ispise (pa „nek se i oni nama, malo, prilagođavaju“ – ako hoće da čitaju moje tekstove - koji su, po mom mišljenju, dio rješenja i pomirenja među fizičarima).

[nellington]

Na današnji dan rođen je Rene Thom. Smatra se tvorcem teorije katastrofe. Veliki utjecaj na njegov razvoj imao je Henri Cartan. Za razvoj teorije kobordizama dobio Fieldsovu medalju.

A sad malo o teoriji katastrofe:

Teorija katastrofe

Preuzeto sa Bloga B92
Pise: Nenad M. Svrakic




Jedna od osnovnih konceptualnih postavki u fizičkim teorijama o pojavama u svetu oko nas je redukcionizam, tj., ideja da se suština neke pojave (fenomena) može objasniti mehanizmima na manjim prostornim ili vremenskim skalama. Tako se, na primer, procesi unutar žive ćelije objašnjavaju molekularnom biologijom, molekularna biologija hemijom, hemijske reakcije proizilaze iz strukture hemijskih elemenata (atoma ili molekula) i njihovih interakcija, atomske i nuklearne reakcije kao posledica osobina elementarnih čestica i njihovih interakcija, itd. Ova kaskada redukcije na niže uzroke se nastavlja sve do najmanjih prostornih i vremenskih skala, gde kvarkovi i neutrini i elektroni postoje u svetu kvantizovanog prostora-vremena. Ljudi koji se ovim najmanjim skalama bave često kažu da im je cilj da razviju "teoriju svega" (TOE - Theory of Everything); opšte je poznato da prepotencija medju ovim ljudima nikad nije manjkala. Medjutim, što više saznajemo o TOE, njena otkrića nam se čine sve manje relevantnim za objašnjenje pojava u svakodnevnom životu.

Fizika razvijana tokom prve polovine XX veka je uglavnom pratila ovaj redukcionistički redosled: stekli smo nova saznanja o atomima i nuklearnim silama i elementarnim česticama i prirodi prostora i vremena koja su dramatično promenila naše vidjenje i razumevanje sveta.

Medjutim, poslednjih 50 godina je postalo jasno da redukcionistički prilaz nije dovoljan da bi objasnio sve, a posebno ne kompleksne načine organizovanja materije.. Tačno je, na primer, da se procesi u živoj ćeliji pokoravaju zakonima molekularne biologije, ali nikakva proučavanja u molekularnoj biologiji ne mogu dati odgovor na pitanje kako to da iz mrtvih molekula nastaje živa ćelija. Potrebna je konstrukcionistička, ili sintetička teorija, koja iz nižih skala ili elementarnih konstituenata može da objasni nastanak radikalno novih fenomena izraženih na višem stepenu organizacije, kao što su život (iz molekula), ili svest (iz nervnih ćelija), ili neki fenotip (iz genoma), ili socijalni fenomen (iz ljudskih interakcija).

U fizici je tokom druge polovine XX veka nastalo nekoliko takvih teorija koje pokusavaju da objasne kompleksne procese. Budući da se te teorije ne fokusiraju ni na jedan specifičan sistem, već više na opšti dinamički razvoj ili organizaciju, one su apstraktne i fenomenološke, da tako kažem, i mogu se odnositi na bilo šta (videti primere dole).

Prednost ovakvih formulacija,sa svoje strane, je u tome što se one mogu strogo matematički zasnovati - ove teorije su matematičke prirode. One predstavljaju neku vrstu sintetičkog vidjenja kompleksnih organizacija materije - a posebno je zanimljivo da je takva jedinstvena generalna formulacija uopšte moguća za tako raznorodne pojave u prirodi (ovim zanimljivim pitanjem se neću dalje baviti). Konkretno, medju takve teorije spadaju Teorija igara, razvijena 40'ih godina, koja se primenjuje u evolucionoj biologiji, politici ili ekonomiji, na primer, i ističe se kao školski primer neredukcionističke teorije. U sličnu kategoriju se mogu uvrstiti i Teorija haosa (haotično ponašanje u dinamičkim sistemima), Teorija fraktala (nova geometrija prirodnih oblika) i Teorija katastrofa koja opisuje nastanak kvalitativnih promena u složenim sistemima kao što su termodinamički sistemi, socijalni sistemi, neuralni sistemi, itd. U ranijim postovima sam pisao o fraktalima i haosu, a ovde ću da kažem nešto malo više o Teoriji katastrofa (Catastrophe Theory).

Na neki način, ovaj tekst se prirodno nadovezuje na moj raniji post o funkcionisanju i kolapsu neuralnih sistema (onaj o Pavlovljevom psu), Dracenin post o Naučenoj bespomoćnosi (kao o jednom modelu depresije), i postu Srdjana Mitrovica o "Šok doktrini" kao načinu izazivanja promena u društvu.

Pre svega, šta je to katastrofa?

U fizici, katastrofa je kvalitativna promena osobina sistema do koje dolazi prilikom promene (najčešće spoljnih) parametara. Na primer, ako stavite džezvu vode na šporet i uključite ga, temperature vode će se povećavati. I na početku se ništa dramatično neće dešavati - voda će lagano da se zagreva. Medjutim, u trenutku kad temperatura vode dostigne 100C stepeni, voda će početi da ključa i prelazi u vodenu paru. Sve vreme tokom ključanja, temperature vode se neće menjati (imaće vrednost 100C) sve dok sva voda ne ispari. Ovo je elementarni primer katastrofe u fizici: promenom temperature, T, (spoljašnjeg parametra) od vrednosti T<100C do vrednosti T>100C voda je promenila svoj karakter - iz tečnog je prešla u gasovito stanje. Razume se, ovaj prost fenomen isparavanja je proučavan jos u 19. veku, i o njemu se manje više sve zna. Medjutim, tek je ranih 70-godina, radovima R. Thom-a i E.C. Zeemana, razvijena opšta teorija ovakvih promena.

Za prvi primer katastrofe, Zeeman u svojoj knjizi Catastrophe Theory, selected papers 1972-1977 analizira ponašanje neuralnog sistema - konkretno jednog teorijskog psa. Zamislimo psa koji ima samo dve moguće reakcije na spoljašnji stimulans: da napadne (ako je razdražen i ljut), ili da pobegne (ako je uplašen). Ako dovoljno naljutimo psa, on će nas besan napasti; ako ga dovoljno uplašimo, on će zastrašen pobeći. Situacija prilicno jednostavna. Medjutim, zamislimo da istovremeno i ljutimo i plašimo našeg psa. U početku on neće reagovati, već će očekivati, jer nadražaj nije dovoljno jak da bi se pas opredelio za jednu od svojih reakcije (da pobegne ili da napadne). Ali, ako nastavimo istovremeno da povećavamo i ljutnju i strah kod psa, on će u jednom trenutku, kad je spoljašnji nadražaj dovoljno jak, doći u stanje konflikta koji će morati da razreši. U toj neizdrživoj tenziji, pas će svoje neuralno stanje da razreši tako što će ili da uplašen napadne, ili da besan pobegne. Nije moguće predvideti kojoj će od ove dve reakcije naš pas na ivici nervnog sloma da pribegne. Evo zašto:

Ako je besan, u svesti psa se pojavljuje impuls da napadne. Ako je uplašen, pojavljuje se impuls da pobegne. Ako je istovremeno i besan i uplašen, u njegovoj svesti će naizmenično da se pojavljuju oba impulsa-što je nadražaj jači, to se ovaj impuls za reakcijom povecava.

Svest psa se formira aktivnošću miliona nervnih ćelija u njegovom mozgu - uprošćeno govoreći, jedan deo nervnih ćelija šalje impuls da se beži, dugi da se napadne. U kompleksnim sistemima kao što su neuralni, dešavaju se i slučajne fluktuacije pa ova tačna ravnoteža izmedju dva snažna imulsa ne može da se večno održi (nije stabilna). Neuralni sistem dolazi u situaciju da svaka, i najmanja, fluktuacija na jednu ili drugu stranu postane globalno amplifikovana, i sistem se opredeljuje za jednu ili drugu reakciju. Sistem napravi globalnu odluku na osnovu slučajne, proizvoljno male, fluktuacije o percepcji nadražaja. U tom smislu, sistem na ivici kolapsa je neograničeno susceptibilan, ili "prijemčiv" na proizvoljno male promene spoljašnjeg nadražaja koje na taj način proizvedu globalnu rekciju (kvalitativnu, skokovitu promenu ponašanja psa). Šok terapija, par excellence!

Na slican način, kada vodu zagrejemo do tačno 100C, ona "ne zna" da li je tečnost ili para po datim uslovima. Na 99,9999C stepeni je tečnost, na 100,00001C je para. Tačno na 100C, na kriticnoj tački, lokalne fluktuacije gustine u vodi postaju ogromne. To se eksperimentalno može videti tako što osvetlimo takav sistem svetlosnim zrakom. Na kritišnoj tački, svelost se na fluktuacijama gustine rasipa, i mi vidimo mutno belu svetlost sa druge strane (ovaj fenomen se zove kritična opalescencija). Dakle, cela ova priča o globalnim fluktuacijama nije neka teorijska konstrukcija, več eksperimentalno utvrdjena činjenica.

Ova amplifikacija i promocija slučajnih mikroskopskih fluktuacija na globalni nivo funkcionisanja se ostvaruje tako što sistem počne da fluktuira na svim skalama - tehnički se za ovo stanje u fizici kaže da korelaciona dužina (dužinska skala fluktuacija) postaje beskonačna. U fizici ne postoje beskonačnosti (postoje veoma velike vrednosti, ali ne i beskonačnosti), pa se zato ove pojave zovu katastrofe.

Kao druge primere katastrofa, Zeeman navodi pobune u zatvorima, anoreksične reakcije kod poremećaja u ishrani, izvitoprenje šipki pod dužinskim pritiskom (Euler buckling), i druge. Postoji tačan matematiki način da se dinamika katastrofa opiše, ali ja se neću ovde u to upuštati. Dovoljno je reći da se katastrofe mogu klasifikovati - postoji tačno sedam elementarnih tipova katastrofa u prirodi. Sve katastrofe potpadaju u jednu od ovih sedam tipova, ili njihovu kombinaciju.

Ova koju sam opisao je tzv. cusp catastrophe , i ona se najčešće sreće. Geometrijski ona ima ovakav izgled



Plava površ prikazuje stanja sistema (opisanim parametrom x, i spoljašnjim parametrima u v ). Ako se krećemo po ovoj površi duž zadnjeg zida kocke (u=2, -2<v<2) mi ćemo glatko preći sa višeg na niži nivo. Medjutim, ako se krećemo prednjim zidom kocke (u=-2, -2<v<2), kada stignemo do tačke v=0, naći ćemo se na "pogrešnom mestu", tj., bićemo na gornjoj površi umesto na donjoj. Da bi optimizovao svoje stanje, sistem rapidno predje sa gonje na donju površ. Taj proces se zove katastrofa.

Jedan od lepših primera katastrofe u prirodi je i pojava kaustike (caustics) u optici, kada usled odbijanja od zakrivljenih objekata, svetlost formira oblasti gde se njen intenzitet skokovito menja. Evo primera kako se to dešava na staklu



a na početku je na slikama prikazana kaustika na morskom dnu i u bazenu.

[Sunrise00]

nellingtone, samo da mahnem i da znas da pratim

[nellington]

nellingtone, samo da mahnem i da znas da pratim

Nisam ni sumnjao Odmahujem

[Sunrise00]

nellingtone, samo da mahnem i da znas da pratim

Nisam ni sumnjao Odmahujem

protabirit cemo ovih dana na msnu cim osposobim internet

[nellington]

nellingtone, samo da mahnem i da znas da pratim

Nisam ni sumnjao Odmahujem

protabirit cemo ovih dana na msnu cim osposobim internet

I'm looking forward to it, my fair lady

[nellington]

Na današnji dan rođen je Lav Semjonovič Pontrjagin. Sa 14 godina ostao slijep. To je moglo predstavljati kraj njegovog obrazovanja i naučne karijere, ali ne - njegova majka mu pomaže kao sekretarica - čita naglas naučne radove, zapisuje u njegove bilježnice formule, ispravljala njegov rad i td. Zato je učila i strane jezike... a nije imala matematičkog obrazovanja - pa je simbole čitala kako su joj izgledali, a ne kako se oni ustvari zovu.
Kad se upisao na univerzitet, Pavel Aleksandrov je izvršio veliki utjecaj na njega - kako svojim predavanjima, tako i pojavom. Već tad se Pontrjagin počinje baviti dualnošću, topološkim grupama. Rješava i Peti Hilbertov problem za Abelove grupe.
Po Pontrjaginu se zovu mnogi matematički koncepti - jučer smo spominjali Thomov doprinos teoriji kobordizama - a ta teorija se zove Thom-Pontrjaginova. Poznata je i Pontrjaginova karakteristika višestrukosti.
Negdje na pola života Pontrajgin pravi zaokret u naučnom radu, i počinje se baviti dinamičkim sistemima i teorijom automatskog upravljanja.

[nellington]

Na današnji dan rođen je Heinrich Bruns. Bavio se geodezijom, matematikom, astronomijom, dao Poincareu temelj za njegov pristup rješavanju problema tri tijela, o kom smo već pisali.

[nellington]

Na današnji dan rođen je Etienne Montucla. Poznati historičar matematike, vjerovatno najpoznatiji po svojoj knjizi o povijesti kvadrature kruga.



Na današnji dan rođen je William Moser. Bavio se kombinatorikom, a meni je zapalo za oko sljedeće:

Na federalnom takmičenju ove godine bio je slavni Sylvesterov zadatak sa pravima koje prolaze kroz dvije tačke (U ravni je dato n nekolinearnih tačaka . Dokazati da postoji prava koja prolazi kroz tačno dvije od ovih tačaka.)

Dirac je postavio pretpostavku da takvih pravih ima najmanje n/2. A Moser je sa Kellyjem pokazao da ih ima najmanje 3n/7, pri čemu je za n=7 granica oštra (tj vrijedi jednakost).

[Bloo]

lijepa promjena mjesta stanovanja _:)

[nellington]

Hmm, da

[bogumil-8]

Zdravo, narode (đaci, studenti, profesori i profesori profesorima)! Za sve ima posla i vlastita istraživanja ( u mojoj "relativističkoj algebri").
Zašto me (vi, kojima nije "mrsko pomnožiti dva broja") ignorišete?! Pomozite mi i zajedno kreirajmo (moje) sadržaje u ovoj "bazi podataka": http://www.worldsci.org/php/index.php?t ... =Interests .
Nemojte se "plašiti" što počinjem od pojma - TAČKA, pa korak po korak dalje - do "Univerzalnog matematičkog modela" primjenjivog skoro u svima oblastima). Logika, logika, logika,....

[nellington]

Na današnji dan rođen je Boris Jakovljevič Bukrejev. Poznat po svojim udžbanicima, doprinosu analizi, neeuklidskoj geometriji, zanimanju i želji za predavanjem i prenošenjem znanja. Živio 103 godine.

[kaubojstina]

Kasnim na party, ali ja nije da nisam volio matematiku, jednostavno nisam volio nastavnike/profesore kojima je to bio nista vise do pos'o...uvijek mrzovoljni i bez strasti za onim sto rade.

Eh sad kad je to sve iza mene, i sad kad vise nisam traumatiziram dvicama i tricama, matematika mi izgleda ljepse nego ikad . Zasto? Zato sto ima odgovor na pitanja koja 99.9999999 % ljudskog roda ne moze cak ni formirati i zamisliti.

Jedan, na prvi pogled lahak i besmislen zatadak moze mene staviti u depresiju kad kod pomislim o njemu...a to je: kako izvrnuti sferu iznutra vani bez rezanja i lomljenja.
Ne mogu vam reci koliko sam puta pregled'o ove filmice, ali jos uvijek nemam mentalne sposobnosti da shvatim kako je to moguce i ako je sve doslovno nacrtano.




I matematicar koj je otkrio:



Stephen Smale

[nellington]

Sljedeće pitanje koje sebi možeš postaviti je: kako počešljati dlakavu bilijarsku kuglu

A odgovor na pitanje leži u hairy ball theorem.

[nellington]

Na današnji dan rođen je Georges Buffon. Bavio se prirodnim naukama, postankom svijeta, analizirao Newtonov rad. Možda je najpoznatiji po svom eksperimentu iz teorije vjerovatnoće:

Ako na komad papira iscrtan paralelnim pravima, čija je međusobna udaljenost d, bacimo iglu dužine d, vjerovatnoća da će ta igla presjeći neku od paralelnih pravih jednaka je 2/pi.

Ako želite provjeriti - evo vam Java applet pa probajte Ili čačkalicu u ruke pa praktično bacajte.

[nellington]

Na današnji dan umro je Joseph Liouville. Studirao građevinu, ostvario značajne rezultate u teoriji brojeva, ali i matematičkoj fizici, diferencijalnoj geometriji, analizi. Najpoznatiji je po konstrukciji prvog transcendentnog broja:

0.1100010000000000000000010000... (gdje je 1 na mjestima n!, 0 na ostalim)

te po svom radu na pitanju problema granične vrijednosti u diferencijalnim jednačinama.

Aktivno se bavio i politikom.

[atko]

Ako na komad papira iscrtan paralelnim pravima, čija je međusobna udaljenost d, bacimo iglu dužine d, vjerovatnoća da će ta igla presjeći neku od paralelnih pravih jednaka je 2/pi.
.

Odakle zakljucujemo:
da ako na papir iscrtan sa vise paralelnih linija udaljenosti d, bacimo proizvoljan broj cackalica duzine d/2 i ako taj proizvoljni broj cackalica podjelimo sa onima koje su presjekle neku od linija taj kolicnik ce teziti broju pi