Kutak za ljubitelje matematike

[nellington]

Hvala na doprinosu - a ja danas pričam o Abelu

[Bloo]

please do

[nellington]

Na današnji dan rođen je Niels Abel. Rođen u porodici Sorena Abela, čovjeka bitnog za politiku u Norveškoj, ali i čovjeka sa finansijskim problemima, te problemima sa alkoholom (a majku su mu optuživali da je lakog morala). U školi bio prosječan, sa nešto izraženijim smislom za matematiku - naime, u tim danima siromaštva u Norveškoj, školstvo je palo na niske grane, Abelu škola nije mogla ponuditi podstrek i inspiraciju. U svakoj nesreći ima sreće - tako je Abelov profesor matematike otjeran sa radnog mjesta nakon što je tako teško pretukao jednog učenika da je ovaj preminuo, a na mjesto predavača dolazi Bernt Holmboë. On je prepoznao Abelov talent, pa na njegov nagovor mladi Niels počinje čitati Eulera, Newtona, Lalandea, d'Alemberta, kasnije i Lagrangea i Laplacea. Nažalost, u to vrijeme Abelov otac umire. Holmboë se zadužuje da bi svom talentovanom studentu omogućio dalje školovanje na univerzitetu u Oslu (tadašnjoj Kristijaniji).
Abel na univerzitetu proučava različite oblasti matematike, te pronalazi još jednog profesora koji će ga podržavati - astronoma Hansteena. Mislio je u jednom trenutku da je riješio opći oblik jednačine petog stepena, pa je to rješenje poslao Kraljevskom udruženju u Kopenhagen. Kad je Ferdinand Degen zatražio od Abela numerički primjer za to rješenje, Niels otkriva grešku u svom rješenju. Nastavlja se baviti integralnim jednačinama, te u jednom od svojih radova daje prvo rješenje integralne jednačine.
U kratkoj posjeti društvu matematičara u Kopenhagenu upoznaje Christine Kemp, s kojom se uskoro i vjeri. Molio je pretpostavljene na univerzitetu da ga pošalju u Njemačku i Francusku da upozna tadašnju matematičku elitu - međutim, kako nije poznavao dovoljno njemački i francuski jezik, savjetuju mu da ostane u Oslu još dvije godine i uči jezike. Za to vrijeme bavi se jednačinom petog stepena - i dokazuje da je nemoguće riješiti opći oblik te jednačine. Dokaz objavljuje u formi 'pamfleta' na francuskom, o svom trošku.
Abel šalje taj dokaz matematičarima u Evropi, tako je i Gaussu stigao primjerak. Kreće na putovanje po kontinentu, i putujući otkriva da teško podnosi samoću. U Berlinu upoznaje Crellea, koji počinje objavljivati svoj slavni žurnal. U prvom svesku našlo se 7 Abelovih radova, od kojih je najistaknutiji bio prošireni dokaz nerješivosti jednačine petog stepena. Vijesti iz domovine kažu da je upražnjeno mjesto profesora matematike na univerzitetu u Oslu zauzeo Holmboë - Abel je izgubio nadu u mogućnost akademske karijere u Norveškoj.
Tih dana je Abel želio upoznati Gaussa u Göttingenu, ali kad je čuo da Gauss nije baš najbolje reagovao na njegov dokaz vezan za jednačinu petog stepena - odustaje od toga. Kasnije će se Abelovo pismo pronaći kod Gaussa nakon Gaussove smrti - neotvoreno! Kažu da je Gauss jednostavno paušalno reagovao, jer nije bio zainteresovan za rješavanje jednačina putem radikala. Poslije boravka u Berlinu, Abel kreće u Pariz. Razočaran je prijemom i interesom za njegov rad, Cauchy ga hladno ignoriše. U to vrijeme se bavi eliptičkim integralima, ostaje u Parizu nekoliko mjeseci dok su Cauchy i Lagrange trebali obaviti procjenu jednog njegovog rada. Lošeg zdravlja, bez novca, živi od jednog obroka dnevno (spomenuh sinoć u priči o književnosti Orwellovu autobiografsku knjigu Niko i ništa u Londonu i Parizu - eh tako je sad živio Abel u Parizu i Berlinu!) Crelle ga pokušava zadržati u Berlinu, nudi mu uredničko mjesto, ali sad već jako zaduženi Abel mora nazad u Oslo. Univerzitet u Oslu mu daje nešto malo novca, uz klauzulu da će mu se taj novac oduzeti od prve plaće ako počne ikad raditi tu. Daje instrukcije školarcima, dok zaručnica radi kao guvernanta. U to vrijeme se JAcobi pojavljuje kao konkurencija u polju eleiptičkih integrala sa svojim radovima, pa se Abel nadmeće s njim, a Legendre zapisuje:

"Sa ovim radom ova dvojica će obezbijediti sebi mjesto najjačih znalaca analize našeg vremena".

Rad koji je bio u Parizu - izgubljen! Abel ga ponovno piše - na svega dvije strane, ali to je remek-djelo. Zdravlje sve gore. 8.4.1829. Crelle mu piše pismo sa dobrim vijestima: obezbijedio mu je mjesto profesora na berlinskom univerzitetu! Prekasno, Abel je umro 6.4.

1830., Cauchy nalazi izgubljeni Abelov rad. Odštampan je 1841. da bi opet volšebno nestao - pronađen opet u Firenci 1952.

Za svoj rad, Abel je dobio Veliku nagradu pariške akademije 1830., zajedno sa Jacobijem. Iste godine Galois piše svoj rad o uslovima rješivosti jednačina - što je Abel već prije dvije godine završio...

[Bloo]

nemoguće je iskazati korijen opšte jednačine petog stepena u terminima koeficijenata te jednačine putem konačne kombinacije radikala i racionalnih funkcija

[nellington]

nemoguće je iskazati korijen opšte jednačine petog stepena u terminima koeficijenata te jednačine putem konačne kombinacije radikala i racionalnih funkcija

Aham

[Bloo]

i što je pravo interesantno
generalna jednačina 5 stepena bi se mogla riješiti, ako (mada je to protivno Abelovoj ideji) bi bilo moguće otkriti, redukciju opšte jednačune na binomijalnu formu ili ekstrakcijom petog stepena izraza u opšti imaginarni

[nellington]

Na današnji dan umro je Andre Weil. Značajni su njegovi doprinosi teoriji brojeva, algebarskoj geometriji i teoriji grupa.

Jedina počast koja stoji u njegovoj zvaničnoj biografiji je - član akademije nauka Poldavije.

Zašto to? Weil je bio aktivan bourbakista - a Poldavia je izmišljena domovina izmišljenog matematičara Nicolasa Bourbakija.

Danas, pišemo o njemu - Nicolasu Bourbakiju.

[Bloo]

kolko se ja sjećam grupa od 9 ili 10 matematičara u Francuskoj predstavnici modernih matematicara, ime potice od francuskog generala koji se borio u ratu izmedu Njemacke i Francuske...matematicari koji su se okupljali u ovom kruzooku su postovali njemackog matematicara Davida Hilberta, osnivaci iako Francuzi su poslije Drugog svejtskog rata u svoje redove primili i jednog poljskog Amerikanca Samuela Eilenberga. Osnovani su oko 1930-te.

[nellington]

Priča počinje u Strazburu, godine 1934. Dva mlada profesora na strazburškom univerzitetu, Henri Cartan i Andre Weil raspravljaju o udžbeniku matematičke analize iz kojeg trebaju predavati (radi se o Goursatovoj knjizi). Nisu zadovoljni udžbenikom - čim dođu u Pariz, razgovarat će sa kolegama o pisanju novog udžbenika matematičke analize!

Ova dvojica se često sa starim školskim drugovima susreću u Parizu, u Café Capoulade (adresa Boulevard Saint-Michel blizu Luksemburških vrtova). Tako i ovaj put, u podne 10.12.1934. u ovom kafeu susreću se Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Delsarte, Jean Dieudonné, René de Possel i André Weil. Svjesni su najvećeg problema francuske matematike - generacija predavača je izgubljena u rovovima Prvog svjetskog rata.
Žele napisati knjigu sa preko 1000 strana o analizi za 6 mjeseci. Svoju grupu nazivaju Komitet za bavljenje analizom, i ograničavaju broj članova na 9. Uz pobrojane, u članstvo su pozvani i Paul Dubreil, Jean Leray i Szolem Mandelbrojt. Ubrzo će Leraya i Dubreila zamijeniti Charles Ehresmann i Jean Coloumb, respektivno.

Formiraju se i podkomiteti za sve oblasti analize, grupa počinje sa radom...

Nastavak priče - sutra.

[Bloo]

[nellington]

Na današnji dan umro je Gabor Szegő. Bavio se Toeplitzovim matricama. Napisao već slavne zbirke zadataka iz analize sa Polyom.

A ja nastavljam priču o Bourbakiju...

[nellington]

Stali smo sa pričom kod formiranja podkomiteta - odluka grupe je bila da se u svakom komitetu (koji je brojao 3 čovjeka) mora naći osoba koja nije stručnjak za tu oblast - tako su članovi grupe razvijali univerzalnost. Već do ljeta 1935 smislili su i novo ime za grupu - zajednički pseudonim Nicolas Bourbaki (po generalu iz francusko-pruskog rata, Charlesu Bourbakiju).

Kažu da je ideja za ime potekla iz jednog događaja koji se odigrao u mladosti članova grupe, kada je na fakultetu jedan od starijih studenata, prerušen u starijeg čovjeka (sa lažnom bradom i naočalama) održao predavanje studentima koje se sastojalo iz samih pogrešnih i izmišljenih teorema - teoreme su se zvale po francuskim generalima, a posljednja po Bourbakiju.

Weil je jako ozbiljno shvatao ovu šalu - tako je često pričao o izmišljenoj zemlji porijekla Nicolasa Bourbakija - Poldeviji. Znao bi na francuskim trgovima moliti za pomoć siromašnom narodu Poldevije koji nema novca ni za hlače - to bi činio ni sam ne noseći hlače! A na početku Drugog svjetskog rata je mogao biti strijeljan kao špijun, kad su mu njemački vojnici našli pisma na ruskom (od Pontryagina, vezana za matematiku) i pozivnice, pisma, pošiljke naslovljene na Nicolasa Bourbakija - što je Gestapu izgledalo kao lažni identitet samog Weila - srećom, samo je deportovan.

Još nešto na temu imena - jednom je R P Boas, glavni urednik Mathematical Reviewsa objavio članak u kojem je čitaocima objasnio da Nicolas Bourbaki nije jedan čovjek - tj ne postoji, nego da se radi o grupi francuskih matematičara (kažu da je tad Bourbakiju poslan zahtjev da počnu plaćati pretplatu za institucije/udruženja, a ne za pojedinca). Na to je Bourbaki Boasu poslao oštro pismo u kojem je stajalo da Boas Bourbakiju ugrožava pravo na postojanje - te istaknuo tezu da Boas nije jedan čovjek, nego zajednički pseudonim nekoliko urednika Reviewsa.

Prvi sastanak Bourbaki grupe održan je u Besse-en-Chandesse jula 1935. Time je počela serija seminara koji bi se održavali tri puta godišnje, u trajanju jedne ili dvije sedmice. Kažu da je na sastancima vladao haos, tako Dieudonne kaže da svaki Bourbakista sa svog prvog sastanka ponese utisak da se radi o društvu luđaka, a Weil objašnjava kako su se trudili da svi sastanci budu pažljivo neorganizovani, da po nekoliko ljudi govori u isto vrijeme, da ne postoji predsjedavajući. Kaže još da bi bolja organizacija vodila tome da svako dobije svoja zaduženja - a njima to nikad nije palo na pamet!



Prvi kongres: s lijeva na desno - stoje: Henri Cartan, René de Possel, Jean Dieudonné, André Weil, laborant na univerzitetu, sjede: Mirlès, Claude Chevalley, Szolem Mandelbrojt.

Na samom početku donešene su važne odluke - da se radi aksiomatskom metodom, te da se nikad ne ide od specijalnih slučajeva ka generalnim (indukcija), nego od najgeneralnijih ka specijalnim (dedukcija).

Odlučeno je da se napišu sljedeće knjige:

Knjiga I. Teorija skupova
Knjiga II. Algebra
Knjiga III. Topologija
Knjiga IV. Funkcije jedne realne varijable
Knjiga V. Topološki vektorski prostori
Knjiga VI. Integracija

Naslov cjelokupnog djela je bio "Éléments de Mathématique" (suptilno odabran - umjesto uobičajene riječi u množini Mathématiques, Borubaki bira Mathématique, pokazujući jedinstvo matematike).

Kako je želja bila da se svaka knjiga poziva u referencama isključivo na druge dijelove Éléments de Mathématique, ali one koji su već objavljeni, morao se pažljivo planirati redoslijed objavljivanja - nisu objavljivane čitave knjige, nego pojedina poglavlja. Poslije dugog planiranja, objavljivanje je počelo 1939. Napomenimo kao kuriozitet da je prvo poglavlje prve knjige objavljeno tek u sedamnaestom svesku Bourbakijevih djela.

Iako je počeo rat, Bourbaki i dalje objavljuje...

O godinama nakon rata - sutra.

[nellington]

Na današnji dan rođen je Paul Dirac. Praktično osnovao kvantnu mehaniku, za šta je i nagrađen Nobelovom nagradom. Kažu da mu se rječnik uglavnom sastojao od riječi "Da", "Ne" i "Ne znam", te da je bio škrt u govoru.



Na današnji dan rođen je Roger Penrose. Bavio se teorijom polugrupa, kosmologijom, teorijom tvistora - pokušaj ujedinjenja kvantne mehanike i teorije relativnosti. Kasnije je postao poznat i po svom radu na popločavanjima, te u proučavanju principa rada ljudskog uma.

A mi danas pričamo o poslijeratnom Bourbakiju.

[nellington]

Mada je Bourbaki objavljivao svoje knjige prve dvije ratne godine, ipak je rat načinio neminovan prekid u radu grupe. Kraj rata su dočekali sa objavljenim dijelovima knjiga 1, 2 i 3. Bilo je neophodno regrutirati nove članove: Roger Godement, Pierre Samuel, Jacques Dixmier i Jean-Pierre Serre su se pridružili grupi krajem četrdesetih godina, a nakon njih u rad su se uključili i Samuel Eilenberg, Jean-Louis Koszul, Laurent Schwartz. Poslije te 'druge generacije', dolazi i treća:Armand Borel, François Bruhat, Pierre Cartier, Alexander Grothendieck, Serge Lang i John Tate.





Kako je projekt 6 knjiga Nicolasa Bourbakija bio gotov (1958 izlazi zadnji dio), to sa trećom generacijom dolaze i nove ideje za pisanje - istina, već je 1940 Dieudonne imao ideju da se piše još 21 knjiga (dakle ukupno 27) u kojim bi bilo obuhvaćeno svo matematičko znanje, ali taj poduhvat je bio nerealan.
Realisti i idealisti unutar Bourbakija se nisu odmah složili po nekim pitanjima - da li ostati vjeran konceptu univerzalnosti - kad je i sam Dieudonne priznao da samo veliki geniji, kakvi oni nisu, mogu biti univerzalisti, ili se prikloniti sistemu formiranja malih ekspertnih grupa za napredne teme. Grothendieck, iako član treće generacije, brani klasični sistem univerzalnosti u Bourbakiju i predlaže sljedeće tri knjige:

Knjiga VII. Homološka algebra
Knjiga VIII. Elementarna topologija
Knjiga IX. Višestrukosti

Bio je još jedan problem sa Bourbakijevim radom - knjige su pisane 20 godina, kad su zadnja poglavlja završena, prva su bila već pomalo zastarjela! Kako to riješiti? Korigovati ili pisati dalje?

To su sve pitanja sa kojima se Bourbaki susretao tih godina - ali nije posustajao, nastavljali su pisati.

Članovi Bourbakija su imali obavezu da napuste grupu kad napune 50 godina. Cartier je predložio da se isto desi i sa samim Nicolasom Bourbakijem kad napuni 50 - ali to se nije desilo - sa 75 godina još je tu negdje.

[nellington]

Zadeverao nas Bourbaki, pa umalo da preskočimo Diracov rođendan - evo kratkog podsjećanja na velikog Diraca:

[nellington]

Na današnji dan umro je John Charles Fields. Bavio se algebarskim funkcijama, drugovao sa Mittag-Lefflerom.

Ipak, Fields je ostao poznat kao organizator - učestvovao je u organizaciji nekoliko kongresa Međunarodne matematičke unije (IMU), te je osmislio, predložio i finansirao oporukom osnivanje nagrade za matematiku koja danas nosi njegovo ime: Fieldsova medalja.

O čemu želite danas/sutra/ovih dana da pišem?

[Bloo]

Ulamovoj spirali ili geoprostornom profiliranju ako već nije bilo a meni bi bilo interesantno da vidim tvoje mišljenje o tome

[Bloo]

može i Riemanova zeta-funkcija ili Goldbachova conjecture ova zadnja je stvarno interesantna i jednostavna samo što je do sada nitko nije rijesio unatoc ogromnoj nagradi

[nellington]

Ja pisao o Riemannovoj zeta funkciji Geospatial profiling mi je više tema za onu seriju Numb3rs Ali može Goldbachova pretpostavka, ili Ulamova spirala Nakucat ću nešto

[Bloo]

Ja pisao o Riemannovoj zeta funkciji Geospatial profiling mi je više tema za onu seriju Numb3rs Ali može Goldbachova pretpostavka, ili Ulamova spirala Nakucat ću nešto

k možda se netko nakani ovdje da zajedno dokažemo Goldbacha pa podijelimo onaj milionček što nude

[nellington]

Svaka dobra ideja je objašnjiva u 50 riječi ili manje.

Stanislaw Ulam

Ipak, potrošit ćemo nešto više riječi na priču o Ulamovoj spirali - kuriozitetu teorije brojeva. Međutim, nije nam namjera da se bavimo ovom temom, želim danas da pričam o 'jednostavnim' problemima teorije brojeva - koji su još bez odgovora.

Stanislawu Ulamu je na jednom simpoziju bilo dosadno... Uzeo je komad papira i šarao - kao i mnogi od nas kad im je dosadno. Pisao je prirodne brojeve u spiralu:



a nakon toga je počeo zaokruživati proste brojeve na spirali:



Hmm, prosti brojevi se nalaze uglavnom na dijagonalama! Šta ako nastavimo dalje, napišemo još brojeva?



Opet isti uzorak! Znači, postoji mnogo polinoma oblika f(n) = 4n² + bn + c sa nekim koeficijentima a,b,c čije vrijednosti su uglavnom prosti brojevi! Možda vas ovo podsjeti na srećne brojeve (kakav je npr broj 41 - po onome što je otkrio Euler, x² − x + 41 je prost za sve vrijednosti x od 0 do 40) - eh, upravu ste, pogledajte koliko je npr 'bogat' prostim brojevima polinom 4x²-2x+41 - plava boja:



Znači, 41... Nije još sve jasno o Ulamovoj spirali, a prema Hardyju i Littlewoodu, neke osobine Ulamove spirale mogu se dovesti u vezu sa Goldbachovom pretpostavkom - upravo o njoj ćemo sada pisati.

U matematici postoji mnogo neriješenih problema. Većina je složena i nepristupačna običnom čovjeku - ali nekoliko njih zapanjuje svojom jednostavnošću - ponuđene su vrijedne nagrade za njihovo rješenje, garantovano je i mjesto u historiji matematike, ali nismo uopće daleko odmakli.

1. Postoji li neparan savršen broj? Već je pisano o tome ovdje. Ako želite, možete se uključiti u rješavanje - na internetu postoje grupe stručnjaka i entuzijasta koji su napravili kôd koji traži neparan savršen broj, možete im pokloniti malo svog procesorskog vremena i pustiti vaše napucane core2quattro procesore da traže neparan savršen broj - ako se nešto nađe, to će biti dokaz da taj broj postoji, ako se ne nađe, opet nemamo dokaza da on ne postoji.

2. Slično prethodnom pitanju, i Goldbachova pretpostavka je jednostavna i tvrdi: svaki paran broj veći od 2 može se predstaviti kao suma dva prosta broja. Stotine ljudi su ponudili dokaze - bez ikakvog uspjeha. I za ovo postoje programi koji danonoćno traže kontraprimjere.

3. Collatzova pretpostavka: Uzmite bilo koji prirodan broj. Ako je paran, podijelite ga sa 2. Ako je prost, pomnožite ga sa 3 i dodajte 1. Sad sa dobijenim brojem ponovite postupak. Na kraju ćete uvijek doći do jedinice, ma od kojeg prirodnog broja krenuli. Još niko nije dokazao, ali i ovdje računari danonoćno rade - ako postoji kontraprimjer, naći ćemo ga, za to treba samo puno sirove snage, a za dokaz da on ne postoji, trebaju klikeri - njih nemamo

Evo još jedan način na koji se može iskazati Collatzova pretpostavka:







Današnja top vijest: ponuđen je dokaz da P nije NP (o pitanju da li je P NP, pisali smo malo ovdje). U narednih par dana očekujemo vijesti o tačnosti dokaza.

[newklear]

Može li neko koju riječ napisati (ako je već napisana sorry) o vedskoj matematici? Ono malo što sam pročitao pravo me zainteresovalo i različito je od matematike koju sam ja učio

Pozdrav

[nellington]

Nadam se da će neko biti raspoložen da piše o tome - naime, upoznat sam koliko i ti (nekad sam prelistao ovaj blog)

[Bloo]

i couldn't resist po meni najromanticniji pristup Fibonačijevom broju i nevezano za gornji post

[nellington]