Kutak za ljubitelje matematike

[nellington]

Nešto lagano - neka zlatan ne odgovara:

Imate šahovsku ploču. S nje uklonite dva ćoška, ali ona koji ne dijele zajedničku ivicu. Na koliko načina preostala 62 polja možete prekriti sa 31 dominom (jedna domina pokriva dva susjedna polja) bez preklapanja?

[nellington]

Na današnji dan rođen je Emile Picard. Bavio se algebarskom geometrijom, termodinamikom, teorijom elastičnosti i teorijom elektriciteta. Bio predsjednik Francuske Akademije. Poznat studentima po svojoj teoremi o egzistenciji i jedinstvenosti rješenja.



Na današnji dan umro je Hans Hahn. Najpoznatiji po Hahn-Banachovoj teoremi. Dao doprinos i računu varijacija, proširujući Weierstrassove ideje.



Na današnji dan umro je Finlay Freundlich. Astronom koji je sa Einsteinom radio na mjerenju Merkurove putanje u cilju potvrde opće teorije relativiteta.



Na današnji dan je umro Eberhard Hopf. Bavio se topologijom i ergodičkom teorijom. Studirao u Njemačkoj, radio na Harvardu i MITu, da bi se 1936 vratio na mjesto profesora na Univerzitetu u Leipzigu. Zbog tog povratka u već nacističku Njemačku, mnogi su radove Eberharda Hopfa zanemarivali u daljem razvoju nauke, ignorisali ih, a već etablirane rezultate - kao što su Wiener-Hopfove jednačine - prezvali, pa sa one često sad zovu Wienerov filter.

[nellington]

Na današnji dan rođen je Johann Listing. Napisao jednu od prvih knjiga o topologiji. Poput Riemanna, imao je tu čast da bude blizu Gaussa - što je bilo izuzetno korisno. U životu često imao finansijskih problema, ali se bavio raznim oblastima nauke: istraživao vulkane, zemljin magnetizam, utvrđivanje šećera u krvi, bavio se meteorologijom, optikom, geodezijom.

Pomenimo još da je otkrio Möbiusovu traku nezavisno od Möbiusa.

Nije ni čudo, bio je svestran kao Möbiusova traka

[nellington]

Na današnji dan rođen je Stanislav Golab. Već smo ga spominjali kao matematičara rođenog u BiH - u Travniku. Otac poljske škole funkcionalnih jednačina.



Na današnji dan umro je Gottlob Frege. Osnivač moderne simboličke logike, veliki zagovornik teze da je matematika svodljiva na logiku.



Na današnji dan umro je Georg Pick. Objavljivao radove iz linearne algebre, teorije invarijanti, integralnog računa, teorije potencijala, funkcionalne analize i geometrije.

Kad spomenusmo Picka: kolika je površina lika na slici?

[nellington]

45 Naime, ovaj dio sa 3, 2, 0.5 je malko pogrešan, jer baza onog od 3 nije dužine 3, nego duža, pa račun nije OK. U tom dijelu si trebao onaj pravougaonik 2 ostaviti na kvadratu površine 1, iznad njega dići trougao površine 2, i ostao bi ti jošštrougao površine 3. Dakle - 45.

Sad ćemo naučiti i kako to može brže: Pickova teorema.



i je broj tačaka u unutrašnjosti figure, b broj tačaka na rubu figure, a A je površina

[atko]

eh.. ja isjeckao nabrzaka, sreca sto ne radim u opstini na zemljisnim knjigama, pala bi glava za ovo pola duluma

oplakaaaahh

[nellington]

Na današnji dan rođen je Johann Bernoulli (prvi). Jedan od prvih poznatih izadanaka porodice Bernoulli. Tvorac l'Hôpitalovog pravila, bavio se i refleksijom i refrakcijom svjetlosti. Riješio problem lančanice koji je postavio njegov bat Jakob. Bavio se integralom funkcije x^x, raznim redovima. Doktorirao je medicinu. Postavio slavni problem brahistohrone, riješio i izoperimetrijski problem koji je (opet) postavio njegov brat Jakob, svojim rješenjem udario temelje računu varijacija. Učestvovao u religijskim raspravama. Nadmetao se sa svojim bratom Jakobom u svakoj prilici, ali se nadmetao i sa sinom Danielom, pokušavši objaviti svoje (prepisano!) djelo Hydraulica prije Danielove (originalne) Hydrodynamice.

Sada, nešto više o matematičkoj strani gore napisanog.

Neobične identitete u kojim integral izgleda prosto smijenjen sa sumom (što bi mnogi studenti često voljeli da je moguće - stoga i naziv ovih identiteta u anglosaksonskoj terminologiji - Sophomore's dream) za funkciju x^x dao je upravo Johann Bernoulli:



A sad, o Johannovim i Jakobovim problemima:
Problem lančanice

Ako imate lanac obješen u dvije tačke kao na slici- koja je matematička jednačina krive koju on formira pod uticajem gravitacije? Bernoulli je pokazao da se radi o sljedećoj jednačini:



Pri tome, variranjem parametra dobijamo različite lančanice:




Problem brahistokorone

Tijelo kreće iz početne tačke bez početne brzine i kreće se po krivoj usljed djelovanja gravitacije i bez trenja. Koji oblik treba imati kriva da bi se najbrže stiglo do krajnje tačke? Pokazalo se da je riječ o cikloidi - to je inače kriva koju opisuje tačka na kotrljajućem krugu:

[nellington]

Na današnji dan rođen je Gerd Faltings. Dokazao Mordellovu pretpostavku (danas se često ta pretpostavka naziva Faltingsova teorema). Dobitnik Fieldsove medalje 1986. Načinio i bitan korak prema rješenju velike Fermatove teoreme, te je bio prva osoba kojoj je Andrew Wiles prikazao svoj ispravljeni dokaz ove teoreme. Bavi se p-adskom kohomologijom, vektorskim raslojenjima na krivim.

Pošto nam se približava kongres ICM 2010, danas malo pričamo o Fieldsovoj medalji.





Medalja se dodjeljuje svake četiri godine nekolicini matematičara mlađim od četrdeset godina. Ograničenje u godinama je bila želja Johna Fieldsa, iz čije se zaostavštine dodjeljuje medalja: želio je da nagrada bude ohrabrenje za dalja istraživanja mladim matematičarima.
Nagrada se često poredi sa Nobelovom nagradom - iako je konceptu Nobelove nagrade bliža Abelova nagrada. Naime, Abelova nagrada se dodjeljuje svake godine, a dodjeljuje ju norveški kralj.
Spomenimo još da je i novčani iznos koji ide uz Abelovu nagradu (skoro milion dolara) bliži onom za Nobelovu nagradu (milion i pol dolara) od iznosa uz Fieldsovu medalju (petnaest hiljada dolara).

Prema rasporedu ovogodišnjeg kongresa ICM 2010 u Hyderabadu, 19 augusta će biti objavljeni ovogodišnji dobitnici. Čekamo

[nellington]

Na današnji dan umro je Ronald Fisher. Bavio se problemima statistike, redefinisao samu nauku. Proveo dobar dio karijere u zavadi sa Pearsonom.



Na današnji dan umro je i Marcel Paul Schützenberger. Ljekar i doktor matematičkih nauka. U početku se bavio teorijom informacija, išao tragom Shannona (s kojim je imao priliku raditi tokom istraživačkog rada na MITu). Kasnije se bavio kombinatorikom, teorijskom kompjuterskom naukom, polugrupama - objavio 250 radova.

[nellington]

Na današnji dan umro je Rufus Bowen. Prvi radovi koje je napisao bili su o teoriji grafova, dok je najveći doprinos dao teoriji dinamičkih sistema -već spominjani Stephen Smale mu je bio mentor za doktorsku disertaciju. Umro u 31. godini.



Na današnji dan umrla je Julia Bowman (Robinson). Njoj je mentor za doktorsku disertaciju bio Alfred Tarski. Bavila se izračunljivošću, problemima odlučivanja, te nestandardnim aritmetičkim modelima. Bavila se i desetim Hilbertovim problemom - o njemu više dogodine, kad dođemo do rođendana Jurija Matijaseviča.

[nellington]

Na današnji dan rođen je Gabriel Cramer. Bavio se analizom, te algebrom - najviše determinantama, tako i studentima danas ostade Cramerovo pravilo rješavanja sistema linearnih algebarskih jednačina.



Na današnji dan rođen je Ernst Meissel. Svestran matematičar, bavio se teorijom brojeva (teorija prostih brojeva, Möbiusova inverzija, teorija particija), Besselovim funkcijama, asimptotskim relacijama, refrakcijom svjetlosti i problemom tri tijela.



Na današnji dan umro je Nicolaus Bernoulli drugi. Jedan od trojice sinova Johanna Bernoullija i očev ljubimac. Baveći se matematičkim argumentima sukoba Newtona i Leibniza (oko prvenstva u otkriću infinitezimalnog računa), ostvario značajan doprinos teoriji trajektorija. Bio je, kao i većina Bernoullija, još i pravnik. Umro u 31. godini, 8 mjeseci nakon preuzimanja katedre u Petrogradu.

[nellington]

Na današnji dan rođen je Ivar Bendixon. Bavio se teorijom skupova i diferencijalnim jednačinama. Poznat po Poincare-Bendixonovoj teoremi.



Na današnji dan rođen je Otto Toeplitz. Rođen u porodici matematičara, bavio se linearnim i kvadratnim beskonačnim formama, razvio teoriju beskonačno dimenzionalnih prostora, kritizirao Banachov rad kao previše apstraktan.

[nellington]

Na današnji dan umro je Lazare Carnot. Možda ste čuli za njegove obrasce u geometriji - nešto kao poopćena Pitagorina teorema, ili pojednostavljena kosinusna teorema. O njegovom sinu, Sadi Carnotu smo već pisali. Bio je inženjer - i Napoleonov ministar odbrane, sa činom general poručnika.



Na današnji dan umro je Laszlo Kalmar. Bavio se matematičkom logikom, te teorijskom kompjuterskom naukom. Smatra se osnivačem mađarske škole logike.

[_Dame_]

Evo jedno pitanje:

Imamo kupu zapremine 8cm kubnih. Napravimo li rez, dobićemo valjak visine h/2.
Kolika je zapremina valjka?

[nellington]

Visina je pola originalne, baza je četvrtina originalne (po Talesovoj teoremi, poluprečnik baze valjka je duplo manji od poluprečnika baze kupe).

Kako je Vkupe=BkupeHkupe/3, Vvaljka=BvaljkaHvaljka=Bkupe/4*Hkupe/2, to je Vvaljka=3Vkupe/8=3 cm kubna.

[_Dame_]

Visina je pola originalne, baza je četvrtina originalne (po Talesovoj teoremi, poluprečnik baze valjka je duplo manji od poluprečnika baze kupe)].

Kako je Vkupe=BkupeHkupe/3, Vvaljka=BvaljkaHvaljka=Bkupe/4*Hkupe/2, to je Vvaljka=3Vkupe/8=3 cm kubna.

Kako se može dokazati?

[nellington]

Visina je pola originalne, baza je četvrtina originalne (po Talesovoj teoremi, poluprečnik baze valjka je duplo manji od poluprečnika baze kupe)].

Kako je Vkupe=BkupeHkupe/3, Vvaljka=BvaljkaHvaljka=Bkupe/4*Hkupe/2, to je Vvaljka=3Vkupe/8=3 cm kubna.

Kako se može dokazati?

Možemo taj dio dokazati na više načina - prvi je Talesova teorema.

Za svaki od načina, koristit ćemo ovu sliku:



Eh, prema Talesovoj teoremi, AC1:AC=B1C1:BC - isto možemo dobiti i korištenjem sličnosti trouglova (eto to bi bio drugi način). Kako je poznato da je visina valjka - koja je C1C jednaka h/2, odnosno AC/2, pa je i AC1=h/2, odakle slijedi da je B1C1:BC=1:2, pa se poluprečnici odnose 1:2, tj onaj valjka je dva puta manji od onog kupe.

Treći način: srednja linija trougla - duž koja povezuje srednje tačke dvije stranice trougla paralelna je trećoj stranici i dužina joj je jednaka polovini dužine te treće stranice.

[nellington]

Na današnji dan umro je Georg Frobenius. Kombinirajući teoriju algebarskih jednačina, geometriju i teoriju brojeva, došao do koncepta apstraktnih grupa, teorije reprezentacija i karakterizacije.

Nekome je možda poznat i Frobeniusov problem novčića:

"Koja je najveća vrijednost koju ne možemo isplatiti kombinacijom novčanica određenih apoena?"

Naprimjer, ako imate novčiće vrijednosti 3 i 5, najveća vrijednost koja se ne može isplatiti je 7.
Problem je NP težak - nije poznat algoritam rješavanja u polinomnom vremenu.

Kažu da je Frobenius najstarija osoba sa konačnim Erdősovim brojem - ima broj 3.

[ja71]

De molim te ovo podebljano pojasni :

Problem je NP težak - nije poznat algoritam rješavanja u polinomnom vremenu.

???

Kažu da je Frobenius najstarija osoba sa konačnim Erdősovim brojem - ima broj 3.

???

[nellington]

Pošto ćemo za Erdősov rođendan pričati o njegovom životu, gledati filmove o njemu, sad ćemo da kažemo nešto o Erdősovom broju.

Kako je Paul Erdős jako puno pisao, imao puno saradnika i koautora, to je u njegovo vrijeme načinjena klasifikacija autora na sljedeći način:

Erdősu je dat broj Erdősov broj 0;
Svakom ko je objavio rad sa Erdősom, broj 1;
Svakom ko nije objavio rad sa Erdősom, ali jeste sa nekim ko ima broj 1, dat je broj 2;
...
Svakom ko nije objavio sa nekim ko ima broj <n, ali jeste sa nekim ko ima broj n, dat je broj n+1;
...

Ili kako je to slikovito objašnjeno:



Ako je Fata objavila rad sa Erdősom, a Mujo sa Fatom, Fata ima broj 1, a Mujo broj 2.

Autor koji se nikako ne može povezati sa Erdősom ima broj 'beskonačno'. Takvih danas u matematici nema puno - većina ima konačan, i to mali broj. Rijetko ko ima broj preko 9.

Evo spiskova ljudi sa malim brojevima, a evo i kalkulatoraErdősevih brojeva - ali osoba se mora naći u MR bazi, pa nećete naći broj za neke ljude koji ga imaju

[nellington]

Eto ja71, kao da sam znao da ćeš to pitati. Što se prvog pitanja tiče - siguran sam da sam već nekad pisao o P i NP problemima, samo sad ne mogu naći - uz jednu ispravku tog što sam napisao: postoji algoritam u polinomnom vremenu, ali za fiksan broj apoena, međutim u općem slučaju gdje broj apoena može biti po volji velik, koliko znam - nema takvog algoritma.

Šta je polinomno vrijeme (klasa kompleksnosti P)? Algoritam čije je vrijeme izvršavanja - računato u operacijama, ograničeno odozgo nekim polinomom, tj T(n) = O(n^k) za neko prirodno k gdje n odgovara veličini ulaza.
(Preciznije, algoritam je u klasi P ako deterministička Turingova mašina ga izvodi u polinomnom vremenu).

Eh, kod NP problema (imate i NP-potpune, NP-teške, neću sad u to ulaziti), može se provjeriti da li je neko rješenje rješenje tog problema u polinomnom vremenu, ali ne mra značiti da se kao u slučaju P problema problem može i riješiti u polinomnom vremenu. Ovo sam previše pojednostavio, garant negdje i pogriješio

[threshold]

Rijetko ko ima broj preko 9.

Evo spiskova ljudi sa malim brojevima, a evo i kalkulatoraErdősevih brojeva - ali osoba se mora naći u MR bazi, pa nećete naći broj za neke ljude koji ga imaju

Gledo sam film na sličnu temu:

http://en.wikipedia.org/wiki/Six_degrees_of_separation

Six degrees of separation se i film zove, a ovo iznad je url pojave.......

Ovdje 6, a tu 9.

A evo i "dokaz"

Facebook

A Facebook platform application named “[Six Degrees]”[dead link] was developed by Karl Bunyan, which calculates the degrees of separation between different people.[citation needed] It has over 5.8 million users (as of December 20, 2009), as seen from the group's page. The average separation for all users of the application is 5.73 degrees, whereas the maximum degree of separation is 12. The application has a "Search for Connections" window to input any name of a Facebook user, to which it then shows the chain of connections. As of October 24, 2009, the application was no longer available.

Along the same lines was the group “Six Degrees of Separation - The Experiment”, which instructed new members to invite six people on their friend list, and is cited in a report about the theory. The group however, had no way to check if everyone is actually within six degrees of each other, and has since been deleted. However, a newer group with the same name revived the intent of the deleted group.

[nellington]

Na današnji dan rođen je Sir William Rowan Hamilton. Poznat po svom uvođenju kvaterniona - o kvaternionima više ispod. Imao problema sa alkoholom.



Na današnji dan rođen je John Venn. Poznat je po - pretpostavljate - Vennovim dijagramima. Još spomenimo da je sa svojim sinom popisao sve studente sa univerziteta u Cambridgeu od najranijih vremena do svog vremena.



Na današnji dan umro je Otto Hesse. Možda ste čuli za njegovu determinantu, poznatu kao hessian?



Na današnji dan umro je Gerhard Gentzen. Uveo princip prirodne dedukcije u matematičku logiku.

[nellington]

A sad o kvaternionima...

Kvaternioni su brojevni sistem koji proširuje kompleksne brojeve. Proizvod dva kvaterniona nije komutativan - bitno je koji kvaternion je lijevo od znaka množenja, a koji desno. Umjesto jedne 'imaginarne jedinice i' u kompleksnim brojevima, kod kvaterniona se radi o tri takve jedinične vrijednosti, definirane sa



Grafički, to izgleda ovako:



Znači, kvaternion je određen sa četiri koordinate, odnosno imamo četiri 'jedinična vektora' i pripadajuće intenzitete.



Jedinični vektori:
1 = (1,0,0,0),
i = (0,1,0,0),
j = (0,0,1,0),
k = (0,0,0,1).

Eh sad, sabiranje i oduzimanje je jednostavno, kao što bi se i očekivalo:

(a1,b1,c1,d1) + (a2,b2,c2,d2) =(a1 + a2,b1 + b2,c1 + c2,d1 + d2).

A množenje? Eh, formula za množenje je nešto složenija:

(a1,b1,c1,d1)(a2,b2,c2,d2) =
(a1a2 − b1b2 − c1c2 − d1d2,
a1b2 + b1a2 + c1d2 − d1c2,
a1c2 − b1d2 + c1a2 + d1b2,
a1d2 + b1c2 − c1b2 + d1a2).

Pomenimo još da je osnovnu formulu kvaterniona Hamilton urezao na most Brogham u Dublinu, šetajući sa suprugom. I sad tamo stoji ova ploča, u tu čast:



Eh, odakle njemu 4 koordinate? Naime, Hamilton je bio fasciniran činjenicom kako su kompleksni brojevi povezani sa koordinatama u dvodimenzionalnom koordinatnom sistemu - pa je želio načiniti općenitije brojeve koji će isto djelovati u trodimenzionalnom prostoru - međutim, nije išlo. Takve trojke su mu zadavale puno briga - svako jutro ga je sin pitao: Tata, jesi li uspio pomnožiti trojke, a očev odgovor bi bio - Ne, još uvijek ih samo mogu sabirati.

Ako ne može sa 3, može sa 4 - tako su u šetnji i razgovoru sa suprugom nastali kvaternioni.

[Bloo]

Savršeni broj

savršeni broj je pozitivni cijeli broj koji je suma svojih clastitih pozitivnih djelilaca to jeste suma pozitivnih djelilaca osim tog savršenog broja. Isto tako, savršeni broj je broj koji je pola sume svih svojih pozitivnih djelitelja (uključujući i samog sebe) ili σ(n) = 2n.

Prvi savršeni broj je 6, jer 1, 2 i 3 su njegovi vlastiti pozitivni djelitelji i 1 + 2 + 3 = 6. ISto tako, broj 6 je jednak polovi zbroja svih svojih pozitivnih djelitelja ( 1 + 2 + 3 + 6 ) / 2 = 6.

Slijedeći savršeni broj je 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Zatim 496 i 8128.

Savršeni brojevi su interesantni zbog slijedećeg problema koji je koliko se meni čini do danas nerješiv:
Da li postoji beskonačno mnogo Mersenne glavnih brojeva (Lenstra-Pomerance-Wagstaff pretpostavka);isto tako da li postoji beskonačno mnogo parnih savršenih brojeva?

Savršeni brojevi se isto tako dijele na parne i neparne. ono što je interesantno je da ne postoji neparni savršeni broj, barem ne do danas.
Da bi se dokazalo da je neki broj neparni savršeni broj on mora da zadovolji slijedeće uslove:
* N > 10300.
* N ima formu


gdje je::

* q, p1, ..., pk su zasebni primarni
* q ≡ α ≡ 1
* Najmanji glavni faktor N-a je manji od (2k +8) / 3
* N < 24k+1