Da, zaboravih koji je bio obim Mat 1 tada
Kao što obećah, počinje priča o beskonačnosti, zdravom razumu i sirotom Georgu Cantoru.
Prvi skup sa kojim se bilo ko od nas susretne u životu jeste skup prirodnih brojeva, N={1,2,3,...}. Prirodnim brojevima su se bavili i drevni narodi, brojeći stvari oko sebe i razvijajući matematičke zakonitosti. Kako je u ljudskoj prirodi dijeliti stvari, nastadoše u to staro doba i razlomci - racionalni brojevi... Pitagorejci otkriše da postoje pozitivni brojevi koji nisu ni cijeli ni razlomljeni - iracionalni brojevi. Na prelomu vijekova nastadoše i negativni, pa i kompleksni brojevi.
Za sljedeću priču su nam bitni prirodni (N), cijeli (Z), racionalni (Q), algebarski (Q sa crticom iznad) i realni brojevi (R). Dodatno pojašnjenje: algebarski brojevi jesu oni koji mogu predstavljati rješenje polinomne jednačine konačnog stepena sa racionalnim (ili ekvivalentno: cjelobrojnim) koeficijentima.
Poznato nam je da je N podskup Z, Z podskup Q, Q podskup Q sa crticom, a Q sa crticom podskup R. Kako npr Z sadrži još brojeva osim onih iz N, logično je zaključiti da je broj elemenata u Z veći od broja elemenata u N, analogno zaključujemo i za Q, Q sa crticom i R, redom. Međutim, da li je to tako?
Negdje u mojim prethodnim postovima našao se pojam kardinalnog broja - koji u slučaju konačnih skupova predstavlja broj elemenata tog skupa. Nazovimo tako kardinalni broj skupa N sa alef nula
- jasno, radi se o beskonačnom broju. Nadalje, zaključimo da između dva skupa koji imaju isti broj elemenata možemo uspostaviti bijekciju: preslikavanje u kom svakom elementu skupa A odgovara tačno jedan element iz B i obratno, svakom elementu iz B odgovara tačno jedan iz A. Prema takvoj definiciji ekvipotencije (jednakosti kardinalnih brojeva skupova), neki skup ima kardinalni broj alef nula ako postoji bijektivno preslikavanje tog skupa u skup N. Skupove ekvipotentne skupu N nazovimo prebrojivim.
Uvedimo ovakvo preslikavanje u skupu Z:
f(n)=2n ako je n>=0, f(n)=1-2n ako je n<0. Time smo preslikali cijeli skup Z u cijeli skup N, i to bijektivno, pa je kardinalni broj skupa Z isti kao za skup N, odnosno alef nula. A neko bi rekao da cijelih brojeva ima duplo više od prirodnih! Znači, imamo skup koji ima jednak broj elemenata kao njegov beskonačni podskup!
Sad u priču ulazi Cantor. 1873, Cantor je kao 28godišnjak objavio rad u kom dokazuje da je Q prebrojiv skup. Znači, ne samo da cijelih brojeva ima koliko i prirodnih, nego i racionalnih ima koliko i prirodnih!
Dokaz Cantorove tvrdnje je sljedeći: poredajmo parove prirodnih brojeva na sljedeći način: 1/1 2/1 1/2 3/1 2/2 1/3 4/1 3/2 2/3 1/4 5/1 4/2 3/3 2/4 1/5 … Kako je ovo prebrojiv skup, a u njemu će se pojaviti svi racionalni brojevi, to je skup racionalni brojeva prebrojiv.
Prethodnim dokazom je pokazano da je Dekartov proizvod prebrojivih skupova prebrojiv (naime, Q odgovara proizvodu NxN, jer je racionalan broj moguće uslovno gledati kao uređen par prirodnih brojeva). Kako je skup Q sa crticom iznad proizvod Q^n, to je i on prebrojiv na osnovu prethodne konstatacije.
Šta je sa skupom R, i zašto je Cantor tako nesretan slučaj matematike? Odogovor u sljedećem postu...
poz
A taj "dobri fazon", Kantorov dijagonalni argument je sjajna stvar - primjenjiva na još par dokaza iz ove oblasti [to je kod vas bilo gradivo Matematike 3 - ako sam dobro zapamtio da si antebolonjski RIovac]