Kutak za ljubitelje matematike

[atko]

Iskoristi to friško znanje da postaviš koje pitanje, pa da se malo tema učini interesantnom

Imam nijet napisati nekoliko tekstica na tu temu ... al ispiti pritisli ... do daha junuze

[B34R]

drugovi i drugarice moze li mi neko uraditi ovaj zadatak bio bih zahvalan : Balon se nalazi tačno iznad puta koji spaja dva sela i čija je dužina
1.5 milja.Bliže selo vidi se iz balona pod uglom od 35 ° a dalje selo
pod uglom od 31 ° . Na kojoj visini se nalazi balon ? goriiiiii
zemlja !


hvala unaprijedi btw nisam skolarac, ne studiram nista sto ima veze sa matematikom cisto me zanima ishod ovog balona poz

[nellington]

Mrsko mi šarati trigonometriju, pa ti evo ovako rješenje

http://answers.yahoo.com/question/index ... 354AAlS7aZ

Da je rješenje tačno garantuje ti autor knjige
http://www.aw-bc.com/scp/lial_hornsby_s ... 227638.pdf

[B34R]

hvala nellington

[atko]

Nacrtas slicicu ... dva trokuta znaci koj imaju jednu katetu zajednicku ... to je visina zonaci sa x

imas uglove malo sinusa/kosinusa ... druge dvije katete u zbiru su milja i po ... par jednacina sa par nepoznati

Al problem je sto ljudi nece ni da pokusaju baciti problem na papir ... haj pokusaj pa ce ti svi rado pomoci ...ako necees nece niko dzaba ti takvi su ti matematicari

[nellington]

Evo, kad atko bude odmarao od obaveza:
*Kojih brojeva ima više: prirodnih, cijelih ili racionalnih? Obrazložiti odgovor.
*Kojih brojeva ima više: realnih brojeva na intervalu (-oo,+oo) ili realnih brojeva na segmentu [0,1]? Obrazložiti odgovor.

[Sunrise00]

Evo, kad atko bude odmarao od obaveza:

*Kojih brojeva ima više: realnih brojeva na intervalu (-oo,+oo) ili realnih brojeva na segmentu [0,1]? Obrazložiti odgovor.

ima ih beskonacno mnogo u oba intervala jer realni brojevi na segmentu [0,1] mogu imati beskonacno mnogo razlicitih kombinacija decimala
fulila sam, garant

ili je pitanje bilo samo atku upuceno?

[nellington]

Neka, pitanje je upoćeno svekolikom pučanstvu.

Međutim, da li je svaka beskonačnost jednaka?

[dr.Gonzo]

Međutim, da li je svaka beskonačnost jednaka?

Kad se samo sjetim... do prije par godina sam znao dokazati teoremu koja kaze da ima vise realnih nego prirodnih brojeva. Sad se sjecam samo da je u dokazu bio neki dobar fazon

Evo nesto od mene za vas matematicare:



Jos su mu bolje zezncije koje nisu na racun matematike, recimo ova:

[nellington]

Lehrer A taj "dobri fazon", Kantorov dijagonalni argument je sjajna stvar - primjenjiva na još par dokaza iz ove oblasti [to je kod vas bilo gradivo Matematike 3 - ako sam dobro zapamtio da si antebolonjski RIovac]

[Sunrise00]

Neka, pitanje je upoćeno svekolikom pučanstvu.

Međutim, da li je svaka beskonačnost jednaka?

to vec ne bih znala doduse, u onom gore intervalu ima i negativnih brojeva k'o 2 beskonacnosti

[nellington]

Neka, pitanje je upoćeno svekolikom pučanstvu.

Međutim, da li je svaka beskonačnost jednaka?

to vec ne bih znala doduse, u onom gore intervalu ima i negativnih brojeva k'o 2 beskonacnosti

Tako je sasvim prirodno razmišljati... Međutim, priroda i beskonačnost ne idu jedno sa drugim, u to se na teži način uvjerio i Georg Cantor. Priču o Cantoru i svim ludostima beskonačnih skupova ostavljam za večeras, sad samo trailer:

-Cijelih brojeva ima isto onoliko koliko i prirodnih!
-Racionalnih brojeva ima isto onoliko koliko i cijelih!
-Realnih brojeva ima više
-Realnih brojeva od 0 do 1 ima koliko i od -oo do +oo
-to i još mnogo više u večerašnjoj epizodi: epizode iz života nesretnih matematičara: Georg Cantor

[Sunrise00]

Neka, pitanje je upoćeno svekolikom pučanstvu.

Međutim, da li je svaka beskonačnost jednaka?

to vec ne bih znala doduse, u onom gore intervalu ima i negativnih brojeva k'o 2 beskonacnosti

Tako je sasvim prirodno razmišljati... Međutim, priroda i beskonačnost ne idu jedno sa drugim, u to se na teži način uvjerio i Georg Cantor. Priču o Cantoru i svim ludostima beskonačnih skupova ostavljam za večeras, sad samo trailer:

-Cijelih brojeva ima isto onoliko koliko i prirodnih!
-Racionalnih brojeva ima isto onoliko koliko i cijelih!
-Realnih brojeva ima više
-Realnih brojeva od 0 do 1 ima koliko i od -oo do +oo
-to i još mnogo više u večerašnjoj epizodi: epizode iz života nesretnih matematičara: Georg Cantor

jesam to upravu bila

ja imam jedno laicko pitanje
ako svaki broj podijeljen sa 0 daje beskonacnost, i npr. imamo 2/0=oo, iz toga bi slijedilo da je oo*0=2, a svaki broj pomnozen s nulom bi trebao davati 0?

cekam veceras ovu epizodu

[nellington]

oo*0 je neodređen oblik, a 2/0 nije tehnički beskonačno, nego je granični proces (limes) 2/x, x->0 beskonačno. A nadam se da ću stići završiti sve svoje obaveze prije obećane epizode

Vidjeti: http://en.wikipedia.org/wiki/Division_by_zero i http://en.wikipedia.org/wiki/Indeterminate_form .

[Sunrise00]

oo*0 je neodređen oblik, a 2/0 nije tehnički beskonačno, nego je granični proces (limes) 2/x, x->0 beskonačno. A nadam se da ću stići završiti sve svoje obaveze prije obećane epizode

Vidjeti: http://en.wikipedia.org/wiki/Division_by_zero i http://en.wikipedia.org/wiki/Indeterminate_form .

ovo mi je malo komplikovano neka meni mojih logaritama

salim se, jasnije mi je sad, hvala

[dr.Gonzo]

taj "dobri fazon", Kantorov dijagonalni argument je sjajna stvar - primjenjiva na još par dokaza iz ove oblasti [to je kod vas bilo gradivo Matematike 3 - ako sam dobro zapamtio da si antebolonjski RIovac]

Jest, jest, to je taj dokaz Ja sam ga naucio negdje u periodu kad sam spremao teoriju za matematiku 1.
Ove ostale matematike su kod nas na RI-u bile prdimahovina...

[nellington]

Da, zaboravih koji je bio obim Mat 1 tada

Kao što obećah, počinje priča o beskonačnosti, zdravom razumu i sirotom Georgu Cantoru.



Prvi skup sa kojim se bilo ko od nas susretne u životu jeste skup prirodnih brojeva, N={1,2,3,...}. Prirodnim brojevima su se bavili i drevni narodi, brojeći stvari oko sebe i razvijajući matematičke zakonitosti. Kako je u ljudskoj prirodi dijeliti stvari, nastadoše u to staro doba i razlomci - racionalni brojevi... Pitagorejci otkriše da postoje pozitivni brojevi koji nisu ni cijeli ni razlomljeni - iracionalni brojevi. Na prelomu vijekova nastadoše i negativni, pa i kompleksni brojevi.

Za sljedeću priču su nam bitni prirodni (N), cijeli (Z), racionalni (Q), algebarski (Q sa crticom iznad) i realni brojevi (R). Dodatno pojašnjenje: algebarski brojevi jesu oni koji mogu predstavljati rješenje polinomne jednačine konačnog stepena sa racionalnim (ili ekvivalentno: cjelobrojnim) koeficijentima.

Poznato nam je da je N podskup Z, Z podskup Q, Q podskup Q sa crticom, a Q sa crticom podskup R. Kako npr Z sadrži još brojeva osim onih iz N, logično je zaključiti da je broj elemenata u Z veći od broja elemenata u N, analogno zaključujemo i za Q, Q sa crticom i R, redom. Međutim, da li je to tako?

Negdje u mojim prethodnim postovima našao se pojam kardinalnog broja - koji u slučaju konačnih skupova predstavlja broj elemenata tog skupa. Nazovimo tako kardinalni broj skupa N sa alef nula - jasno, radi se o beskonačnom broju. Nadalje, zaključimo da između dva skupa koji imaju isti broj elemenata možemo uspostaviti bijekciju: preslikavanje u kom svakom elementu skupa A odgovara tačno jedan element iz B i obratno, svakom elementu iz B odgovara tačno jedan iz A. Prema takvoj definiciji ekvipotencije (jednakosti kardinalnih brojeva skupova), neki skup ima kardinalni broj alef nula ako postoji bijektivno preslikavanje tog skupa u skup N. Skupove ekvipotentne skupu N nazovimo prebrojivim.

Uvedimo ovakvo preslikavanje u skupu Z:
f(n)=2n ako je n>=0, f(n)=1-2n ako je n<0. Time smo preslikali cijeli skup Z u cijeli skup N, i to bijektivno, pa je kardinalni broj skupa Z isti kao za skup N, odnosno alef nula. A neko bi rekao da cijelih brojeva ima duplo više od prirodnih! Znači, imamo skup koji ima jednak broj elemenata kao njegov beskonačni podskup!

Sad u priču ulazi Cantor. 1873, Cantor je kao 28godišnjak objavio rad u kom dokazuje da je Q prebrojiv skup. Znači, ne samo da cijelih brojeva ima koliko i prirodnih, nego i racionalnih ima koliko i prirodnih!
Dokaz Cantorove tvrdnje je sljedeći: poredajmo parove prirodnih brojeva na sljedeći način: 1/1 2/1 1/2 3/1 2/2 1/3 4/1 3/2 2/3 1/4 5/1 4/2 3/3 2/4 1/5 … Kako je ovo prebrojiv skup, a u njemu će se pojaviti svi racionalni brojevi, to je skup racionalni brojeva prebrojiv.

Prethodnim dokazom je pokazano da je Dekartov proizvod prebrojivih skupova prebrojiv (naime, Q odgovara proizvodu NxN, jer je racionalan broj moguće uslovno gledati kao uređen par prirodnih brojeva). Kako je skup Q sa crticom iznad proizvod Q^n, to je i on prebrojiv na osnovu prethodne konstatacije.

Šta je sa skupom R, i zašto je Cantor tako nesretan slučaj matematike? Odogovor u sljedećem postu...

[Vjeruj!]

Cantor je budala, a ne nesretan slucaj.

[nellington]

Cantor iste godine kad je dokazao prebrojivost racionalnih i algebarskih brojeva dokazuje i sljedeće: skup R nije prebrojiv!
Dokaz:
Pretpostavimo da je moguće napisati sve realne brojeve iz intervala (0, 1) u listi (tada bi ti brojevi bili prebrojivi, jer je skup N može napisati u formi beskonačne liste):
0.a1a2a3a4a5...
0.b1b2b3b4b5...
0.c1c2c3c4c5...
0.d1d2d3d4d5...
...
i definirajmo broj x = x1x2x3x4... tako da x1 različito od a1 (ili 9), x2 različito od b2 (ili 9), x3 različito od c3 (ili 9), i td.
tada decimalni tazvoj x ne završava ponavljanjem devetki i razlikuje se od n-tog člana liste na n-tom decimalnom mjestu, pa se razlikuje od svih elemenata liste - dakle, predstavlja element intervala (0,1) koji nije na listi - samim tim pravljenje liste nije moguće!

Dakle, skup realnih brojeva nema kardinalnost alef nula, nego neku drugu - označenu sa c (kontinuum).

Ovim smo pokazali da postoje bar dvije "vrste beskonačnosti".

S ovim Cantor nije imao problema. Međutim, dva pitanja su ga počela mučiti:

1877, Cantor otkriva da je moguće načiniti bijekciju između segmenta [0,1] i cijelog skupa R (forumašima ostavljam za vježbu da nađu takav primjer, nije teško). Dakle, brojeva na ovom segmentu ima koliko u cijelom skupu R! Cantor piše Dedekindu: “Ich sehe es, aber ich glaube es nicht!” (Vidim to, ali ne vjerujem!).

Cantor je imao problema sa depresijom, ovo je samo pojačalo napade depresije.

Iste godine, još jedno pitanje počinje proganjati Cantora: hipoteza o kontinuumu: da li je R prvi veći skup od skupa N - odnosno, postoji li kardinalni broj između alef nula i c? Može se pokazati da je prvi veći kardinalni broj od alef nula (nazovimo ga alef jedan) onaj koji predstavlja kardinalni broj partitivnog skupa (vidjeti neki od mojih prethodnih postova za definiciju partitivnog skupa) skupa N, odnosno 2^alef0. Dakle, hipoteza pita - da li je 2^alef0=c?
Cantor je jednog dana mislio da je dokazao da je hipoteza tačna - sutradan je otkrio grešku. Sljedeći dan je mislio da je dokazao da hipoteza nije tačna - sutradan je opet našao grešku. Napadi depresije su bili sve jači.

Ova hipoteza je postala prvi Hilbertov problem sa čuvenog spiska aktuelnih problema matematike 1900., da bi se otkrilo da je ista neodlučiva u aktuelnoj ZF/ZFC (Zermelo-Fraenkel, sa i bez slavnog aksioma izbora o kom ćemo drugom prilikom) teoriji skupova - tj, ne može se ni dokazati ni opovrgnuti. Kad već spomenusmo ZF - baš je Cantor krajem XIX vijeka otkrio jedan od prvih paradoksa u ovoj teoriji!

Toliko zasad, ako imate pitanja, želja za sljedeće emisije, recite

@ciki: de mortuis nil nisi bonum.

[Vjeruj!]

U pravu si, nisam se dobro izrazio, bio je budala za vrijeme zivota.
Reci i to ovim mladim zaljubljenicima u nauku, da je covjek odlijepio pokusavajuci dokazati da je c=alef1.

[nellington]

U pravu si, nisam se dobro izrazio, bio je budala za vrijeme zivota.
Reci i to ovim mladim zaljubljenicima u nauku, da je covjek odlijepio pokusavajuci dokazati da je c=alef1.

Istina, to nisam istaknuo u gore navedenom... Ali Cantoru je dohakala i depresija, smrt sina, i td... Evo nešto za one koji ne vole da čitaju:

[Kenan-Safvet]

Kad već spomenusmo ZF - baš je Cantor krajem XIX vijeka otkrio jedan od prvih paradoksa u ovoj teoriji!

Super ti je ova "emisija", samo da jos dodam, da Cantorov paradoks nije paradoks u ZFC sistemu, nego u naivnoj teoriji skupova, tj. u nasem intuitivnom poimanju prirode skupova.
ZFC, koliko je zasad poznato, nema kontradiktornosti inace, jel, ne bi bio aktuelan. Naravno, zahvaljujuci Goedelu, znamo da se konzistentnost ZFC ne moze dokazati unutar ZFC jer bi to znacilo da je ZFC u stvari nekonzistentan.

[Sunrise00]

hebiga, vracam se ovdje za koju godinu, mozda mi tada bude jasnije

[nellington]

Kad već spomenusmo ZF - baš je Cantor krajem XIX vijeka otkrio jedan od prvih paradoksa u ovoj teoriji!

Super ti je ova "emisija", samo da jos dodam, da Cantorov paradoks nije paradoks u ZFC sistemu, nego u naivnoj teoriji skupova, tj. u nasem intuitivnom poimanju prirode skupova.
ZFC, koliko je zasad poznato, nema kontradiktornosti inace, jel, ne bi bio aktuelan. Naravno, zahvaljujuci Goedelu, znamo da se konzistentnost ZFC ne moze dokazati unutar ZFC jer bi to znacilo da je ZFC u stvari nekonzistentan.

Dobro si, znao sam da mi nešto zvuči pogrešno

[Vjeruj!]

hebiga, vracam se ovdje za koju godinu, mozda mi tada bude jasnije

Jok, teorija skupova nije nikom jasna i vjerovatn nece nkad ni biti.
Vidis jadnog cantora, zato pamet u glavu i bavi se lijepim stvarima kao sto su sminkanje i fudbal.