Kutak za ljubitelje matematike

[lejlamo]

...nadam se da nisam off topic.... ...moze li mi neko preporuciti neki prirucnik sa prakticnim zadacima i uputama ...koji je vezan za diskalkuliju, a da nije THE DYSCALCULIA TOOLKIT: Supporting Learning Difficulties in Maths,Ronit Bird ?

[nellington]

...nadam se da nisam off topic.... ...moze li mi neko preporuciti neki prirucnik sa prakticnim zadacima i uputama ...koji je vezan za diskalkuliju, a da nije THE DYSCALCULIA TOOLKIT: Supporting Learning Difficulties in Maths,Ronit Bird ?

Nadam se da će se već pojaviti neko upućen u problematiku



Na današnji dan rođen je Mitchell Feigenbaum. Bavi se matematičkom fizikom, konkretno teorijom haosa. Njegovom zaslugom otkrivena je priroda jednog od prelaza u haos - udvajanja perioda.

Feigenbaum je to otkrio na primjeru logističkog preslikavanja. Priču o logističkom preslikavanju



čiji se grafik u vremenskom domenu mijenja od aperiodskog, kroz kvazioscilatoran i oscilatoran do haotičnog promjenom parametra kao na ovoj animaciji:



ćemo ispričati ukratko - a za dužu priču imate ovo predavanje:



Dakle, ovo preslikavanje možete shvatiti kao demografski model neke zajednice - vrste. Tako x(n) označava broj jedinki u n-toj godini, x(n+1) u n+1-voj i tako redom.
Možete i sami vidjeti, ako je parametar r između 0 i 1, populacija neminovno izumire.
Ako je 1<r<2, broj jedinki dostiže (r-1)/r za sve početne uslove.
Ako je 2<r<3, broj jedinki dostiže istu konačnu vrijednost kao u prethodnom slučaju, ali sporije.
Ako je 3<r<3.45 za gotovo sve početne uslove populacija oscilira između dvije vrijednosti.
Ako je 3.45<r<3.54 sistem oscilira između 4 vrijednosti.
Povećavamo li sada r, nastajat će oscilacije između 8, 16, 32, 64... tačke. Pri tome se dužine intervala u kojima se javljaju pojedini periodi oscilacija ubrzano smanjuju - odnos dužina takva dva bifurkacijska intervala teži tzv Feigenbaumovoj konstanti δ = 4.669... Ovo se naziva udvajanjem periode. Za r=3.57 više se ne mogu naći oscilacije konačne dužine - nastaje haos. Male promjene početnih uslova drastično mijenjaju odziv sistema - što je osnovna karakteristika haosa.
Za većinu vrijednosti parametra r preko 3.57 održava se ovo stanje haosa - iako se ponekad pojavljuju periodični prozori - i to prozori perioda 3, 6, 12... Jedan slavni rad iz teorije haosa je nazvan "Period tri implicira haos".



Šta prikazuje ova slika? Priču koju smo iznijeli iznad: po apscisi mijenjamo r, na ordinati vidimo stacionarna stanja sistema. Tako na r=3 vidimo prvo udvajanje periode - tzv bifurkaciju (račvanje - kako i izgleda na dijagramu iznad), za r=3.45 udvajanje postojeća dva ravnotežna stanja - nastaju 4, i tako redom. U osjenčenom dijelu grafika jasno vidimo oscilacije visokog reda i haos - a bijeli prozori u unutrašnjosti tog sivog dijela su upravo oni periodični prostori koje smo pomenuli.

[bijela]

...nadam se da nisam off topic.... ...moze li mi neko preporuciti neki prirucnik sa prakticnim zadacima i uputama ...koji je vezan za diskalkuliju, a da nije THE DYSCALCULIA TOOLKIT: Supporting Learning Difficulties in Maths,Ronit Bird ?

Matematika bez suza: Kako pomoći djetetu u teškoćama u učenju matematike, prema dr. Mahesh Sharmi, sastavila i pripremila Ilona Posokhova, Ostvarenje, Lekenik, 2001.

?

trebala mi je neka literatura o diskalkuliji i očajno je malo ima kod nas.. ne znam koliko je ova knjiga to što tražiš.
good luck

[nellington]

Na današnji dan rođen je Francesco Cantelli. Bavio se teorijom vjerovatnoće.



Na današnji dan umro je Emil Artin. Načinio je značajan doprinos teoriji nekomutativnih prstenova - kasnije se bavio posebnom vrstom prstenova koji danas nose njegovo ime. Poznavaoci teorije čvorova znaju i za njegov doprinos teoriji pletenica.

Par citata i anegdota Emila Artina:

"Svi znaju da su vjerovatnoća i statistika jedno te isto. Statistika je ništa drugo nego korelacija, korelacija je samo kosinus ugla, dakle, sve je trivijalno!"

Kažu za Artina da je došavši u Ameriku želio naučiti pripremiti pečenu ćurku - recept je potražio u Encyclopedia Britannica.

[nellington]

Na današnji dan rodio se Jan Lukasiewicz. Bavio se logikom, možda najpoznatiji po uvođenju poljske notacije (način prefiksnog zapisivanja operacija koji čini korištenje zagrada nepotrebnim). Možda su programeri među čitaocima čuli za obrnutu poljsku notaciju - ona je izmišljena kasnije.



Na današnji dan umro je Eric Temple Bell. Najpoznatiji po svojoj knjizi Men of mathematics koja je naišla na mnoge kritike kao nevjerodostojna, ali ostala popularno štivo na temu historije matematike. Pisao je i poeziju i naučnu fantastiku pod pseudonimom John Taine.

[nellington]

Tačno - po njemu se mnogo šta zove u matematičkoj logici.

[poznanik]

Ako ne remetim ovu temu, matematičarima bih postavio jedno hipotetično pitanje, zanima me odgovor:

Kada bi pregradili Bosfor i potom iz Crnog mora ispumpali svu vodu preko Mediteranskog u ostala mora, sa sadašnjih 0 m/nv na koji nivo ili - za koliko cm bi se podigao nivo morske vode u svijetu?

[nellington]

Ako se postavlja kao trik pitanje, odgovor je da nadmorska visina mora uvijek ostaje ista - 0m Ako se pak postavlja kao ozbiljno pitanje, otvoreno je za diskusiju sa dosta parametara

[poznanik]

Ako se postavlja kao trik pitanje, odgovor je da nadmorska visina mora uvijek ostaje ista - 0m Ako se pak postavlja kao ozbiljno pitanje, otvoreno je za diskusiju sa dosta parametara

Nije trik pitanje, nemam razlog, zaista me zanima. Sjećam se dokumentarca o probijanju Bosfora i uljevanju vode u Crnomorsko jezero ili niziju, i razmišljam koji nivo vode bi bio da Bosfor nije probijen.

Nemam nikakvih parametara, naravno...

[nellington]

Najbanalnije rješenje: podijeliš zapreminu Crnog mora 547.000 km^3 sa površinom svih mora i okeana (335,258,000 km^2) i dobiješ visinu 1.6 metara. Sad, kad već pominješ proboj Bosfora u tadašnje Crno jezero - ako bi ovo podizanje nivoa mora izazvalo proboj negdje drugo, moglo bi se stvoriti novo more, pa opet promijeniti nivo mora

Ovdje bi geograf dao još bolji odgovor - jer ne računamo sve ono što utječe u Crno more, nego samo dijelimo dva broja Isti taj geograf bi sa pravom primjetio da se nivo vode ne bi svagdje podjednako promijenio - tj zakon spojenih posuda nije idealan - imaš primjer nedavnog mjerenja u kojem je utvrđen rast nivoa mora usljed globalnog zagrijavanja za milimetar u nekim morima, a u nekim je nivo i opao, a sva su povezana svjetskim okeanom.

[poznanik]

Uglavnom - nivo bi bio viši za 1,6 m?

Sad na čitanje izohipsi...

Hvala puno

[nellington]

Na današnji dan rođen je Srinivasa Ramanujan. Spominjali smo ga već u par navrata u diskusijama na forumu. Konkretan doprinos matematici dao je u oblastima eliptičkih funkcija, teoriji brojeva, teoriji beskonačnih redova i verižnih razlomaka.

Ono što izdvaja Ramanujana je njegova neobična životna priča, izvanredni talent i intuicija. Umro je sa 32, ali je i u tom kratkom životu je, kako navode, nezavisno 'našao' 3900 identiteta, jednačina, formula - poneka je bila već poznata, ali većina su bile nove - i tačne. Teško je ukratko ispričati cijelu životnu priču Srinivase Ramanujana, život u Indiji, saradnja sa Littlewoodom i Hardyjem... Zato vas upućujem u svijet wikipedije i najboljeg sitea koji se bavi historijom matematike, St Andrews.

Ja ću se za kraj samo prisjetiti anegdote kada je Hardy došao u posjetu Ramanujanu taksijem broj 1729 i prokomentirao kako je 1729 neinteresantan broj, na šta je Ramanujan odmah odgovorio da je to ipak interesantan broj - najmanji prirodan broj koji je na dva načina može predstaviti kao suma potpunih kubova!

[nellington]

Na današnji dan rođen je Georgij Pfeiffer. Dao važan doprinos teoriji parcijalnih diferencijalnih jednačina.



Na današnji dan rođen je Mihail Gromov. Bavi se geometrijom - i otkriva geometrijske aspekte negeometrijskih matematičkih disciplina. Zanima se i za matematičku biologiju. Dobitnik je više nagrada, prošle godine dobio i Abelovu.

Više o njegovom radu možete saznati iz ove prezentacije, iz koje izdvajam samo jedan citat autora:

“I have the impression that more than half of what is known in Riemannian geometry is known only to Gromov.”

[nellington]

Na današnji dan rođen je dugogodišnji prvak svijeta u šahu, Emanuel Lasker. Nije prvi šahista kojeg pominjemo (bili su u našim pričama i Morley, Morphy, Smullyan, Euwe). Uveo je pojam primarnog ideala. Na generalizaciji njegovog rada zasnovan je rad Emmy Noether.



Na današnji dan rođen je i Charles Hermite. Ogroman je njegov doprinos teoriji brojeva, kvadratnih formi, teorije invarijanti, ortogonalnih polinoma, eliptičkih funkcija i algebri. Učitelj Poincareu, punac Picardu. Između ostalog, prvi dokazao da je broj e transcendentan.

Ovim putem pokrećem akciju: prestanite čovjeka zvati u govoru "Hermite". Prezime mu se čita "Ermit".

[nellington]

Iako se Newton rodio na Božić, o njemu ćemo zahvaljujući razlici između gregorijanskog i julijanskog kalendara pričati 4. januara.



Na današnji dan rođen je Antoni Zygmund. Njegov rad u harmonijskoj analizi našao je značajnu primjenu u teoriji valova i vibracija, dok njegov rad u polju Fourierove analize ima primjenu u teoriji parcijalnih diferencijalnih jednačina.



Na današnji dan umro je Percy MacMahon. Sin generala, i sam major, odličan igrač bilijara, bavio se kombinatorikom i rekreativnom matematikom.

[nellington]

Na današnji dan rođena je Mary Sommerville. Njeni radovi su utjecali na Maxwellov rad, a njena diskusija o planeti koja perturbira putanju Urana vodila je Adamsa ka njegovim istraživanjima.



Na današnji dan rođen je Charles Babbage. Izumitelj je analitičke mašine, preteče modernog računara.



Na današnji dan rođen je i John Horton Conway. Osebujna ličnost moderne matematike, bavi se različitim oblastima matematike: teorija konačnih grupa, teorija čvorova, teorija brojeva, kombinatorna teorija igara, teorija kodiranja, teorija ćelijskih automata.

Upoznajmo se danas sa Conwayevom igrom života - zanimljivim ćelijskim automatom:

Univerzum igre života je beskonačna dvodimenzionalna mreža kvadratnih polja od kojih je svako polje u jednom od dva moguća stanja, živo ili mrtvo. Stanje svake ćelije ovisi od svojih 8 susjeda - kao u minesweeperu.U svakom diskretnom vremenskom trenutku (potezu) dešava se sljedeće:

1. Bilo koja živa ćelija sa manje od dva živa susjeda umire od usamljenosti.
2. Bilo koja živa ćelija sa dva ili tri živa susjeda preživi.
3. Bilo koja živa ćelija sa više od tri susjeda umire od prenapučenosti.
4. Bilo koja mrtva ćelija sa tačno tri susjeda oživljava razmnožavanjem.

Početni uzorak se postavi na ploču, a zatim se primjene gore navedena pravila istovremeno na sve ćelije. U sljedećem koraku se pravila primjenjuju na novu konfiguraciju i tako redom.

Šta možete učiniti sa ovim? Mogući su razni složeni 'organizmi', kao ovaj:



Pogledajte na wikipediji za više detalja.

Nakon toga se možete malo poigrati: evo online simulatora Conwayeve igre života.

[nellington]

Na današnji dan rođen je Jacob Bernoulli, brat Johanna Bernoullija starijeg, stric Johanna Bernoullija mlađeg i Nicolausa Bernoullija mlađeg prastric Johanna Bernoullija trećeg i Jakoba Bernoullija mlađeg(nabrojani su samo dosad pominjani Bernoulliji, biće njih još!)

Radi se o prvoj osobi koja je koristila izraz integral. Bavio se problemom lančanice (o tome smo već pisali u tekstu u njegovom bratu Johannu). Bernoullijeva diferencijalna jednačina se zove po njemu. Otkrio je i Zakon velikih brojeva, o kojem smo pričali u tekstu o Kinčinu. I Bernoullijevi brojevi se zovu po njemu, kao i Bernoullijeva raspodjela i Bernoullijeva nejednakost. Toliki broj pojmova nazvanih po njemu vam dovoljno govori.

Na grobu mu je urezana logaritamska spirala uz poruku Eadem Mutata Resurgo.

[statix]

A gdje ti je Kepler i zakoni gibanja planeta?

[nellington]

Keplera ću kad mu bude godišnjica smrti, Bog da mu dušu prosti. Jedva sam jutros imao 15 minuta za pisanje.

[nellington]

Na današnji dan rođen je John (János) von Neumann. Izgradio okvir za kvantnu mehaniku, bavio se teorijom igara, proučavao ono što se danas zove von Neumannove algebre, jedan od pionira teorijske kompjuterske nauke - posebno u polju arhitektura i logičkog dizajna. Sa Ulamom i Tellerom, tvorac hidrogenske bombe. Bavio se još i statistikom, ekonomijom i ekonometrijom.

Evo jedne apokrifne anegdote o von Neumannu (jednu smo već dali ovdje)

Zaustavio na hodniku MITa student von Neumanna i rekao:
-Oprostite profesore, da li biste mi mogli pomoći sa zadatkom iz matematike?
Von Neumann:
-Dobro, ali požurite, kolega - nemam baš puno vremena.
Student:
-Imam problema sa ovim integralom.
Von Neumann:
-Dopustite da pogledam.

... poslije par sekundi...

Von Neumann:
-Dobro, rješenje je dva pi petina.
Student:
Znam, profesore, rješenje je napisano i na poleđini - ali ne znam kako doći do njega.
Von Neumann:
-Dobro, dozvolite da još jednom pogledam.

... poslije par sekundi...

Von Neumann:
-Rješenje je dva pi petina!
Student:
-Profesore, znam to, ali ne znam riješiti zadatak.
Von Neumann:
-Šta više hoćete od mene, već sam riješio zadatak na dva različita načina!

[nellington]

Na današnji dan umro je Leopold Kronecker. Osnovni doprinos matematici je dao u teoriji jednadžbi, teoriji eliptičkih funkcija i teoriji algebarskih brojeva.

Čega se prvog sjetite kad se spomene Kronecker? Većina se prvo sjeti citata

Die ganze Zahl schuf der liebe Gott, alles Übrige ist Menschenwerk.
(Cijele brojeve stvorio je dragi Bog, sve ostalo je djelo čovjeka)

Kronecker je najpoznatiji predstavnik finitizma, škole u filozofiji matematike koja smatra da matematički objekat ne postoji ukoliko se ne može konstruirati iz prirodnih brojeva u konačno mnogo koraka. Smatraju se pretečama Brouwerovog intuicionizma. Bio je 20 godina prijatelj sa Weierstraßom, ali se kasnije sukobio i sa njim i sa Cantorom.

Za kraj, jedan interesantan Kroneckerov citat (da vidite dokle je išao njegov finitizam) - naime, Lindemannu je rekao sljedeće:

"Koja je korist od tvog divnog dokaza transcendentnosti broja π? Zašto se uopće baviti tim problemima kad iracionalni brojevi i ne postoje?"

[nellington]

Na današnji dan umro je Robert Boyle. Njegov rad u hemiji imao je za cilj formiranje hemije kao matematske nauke zasnovane na mehanističkom pogledu na materiju.



Na današnji dan umro je Alfred Whitehead, matematičar i filozof koji je sa Bertrandom Russellom napisao Principia Mathematica.

Da se mi vratimo na Boylea. Kažu da je dotični u nekim eksperimentima stavljao žive životinje u vakuum, a zatim ih zamrzavao. Zašto? Naime, već je desetak godina prije tog eksperimenta trajala rasprava između Boylea i Hobbesa o vjetru. Hobbes je smatrao da je vjetar izvor hladnoće i da je neophodno da zrak struji po predmetu da bi se on smrznuo. Ali eto... Boyle je zamrzavao i bez zraka, dakle Hobbes nije bio upravu.

[Sunrise00]

nellingtone samo da mahnem tebe nigdje

[nellington]

nellingtone samo da mahnem tebe nigdje

Dobro me podsjeti da uključim msn

[Sunrise00]

nellingtone samo da mahnem tebe nigdje

Dobro me podsjeti da uključim msn

evo fol, vamo ja na block listi pod nickom "ona dosadna sto nema pojma ni matematiku ni mehaniku"